Napříč pevninskou deskou matematiky se táhne hluboký, z části zasypaný, kontinentální zlom, který ji rozděluje na dvě organické části. A tento zlom se zrcadlí i v našem úsilí o pochopení vlastností prostoru, ve kterém žijeme.
Matematika vznikla z naší potřeby dopídit se systému, který by dokázal zachytit a kodifikovat kvantitativní vlastnosti našeho světa. Rozvoj obchodování - a později přírodních věd - postavil otázku „kolik čeho je“ do centra našeho abstraktního zrání a výrazně přispěl ke zvýšení našich počtářských ambicí.
Již ve starověku se ukázalo, že existují dva základní typy kvantit. Jedny počítáme (kravky, lidi, hrnce) a druhé měříme (váha zlatého nugetu, délka prkna, objem soudku). Těm prvním říkáme diskrétní kvantity a poznáme je tak, že se mění skokově (nespojitě). Nelze je navýšit o libovolně malé číslo. Buď máte 2 kravky, nebo 3, ale nic mezi tím. Na žádné farmě vám neprodají 2,543 (živé) krávy. Na druhé straně stojí kvantity, kterým říkáme spojité, protože se mění postupně (spojitě). Ty se navýšit o libovolné malé číslo dají. Pokud vám paní prodavačka prskne na váhu 0,187 kg vlašáku, můžete si klidně poručit „drobátko přidat“ a navýšit tak váhu na hodnotu 0,188 kg.
Matematika spojená s manipulací těchto dvou typů kvantit se trochu liší a postupem času se v jejím inventáři metod a postupů začala objevovat demarkační linie - diskrétní matematika versus spojitá matematika. S trochou zjednodušení by se dalo říci, že diskrétní matematika vyrostla z počítání s celými čísly, zatímco spojitá matematika se vyvinula z potřeb čísel reálných (desetinných).
Je náš svět spojitý, nebo diskrétní?
Diskrétní matematika v širším slova smyslu se zabývá manipulací celistvých objektů. A nemusí to být jen celá čísla - množina knoflíků je také diskrétní (ovšem pozor: množina knoflíčků je indiskrétní). Spojitá matematika se naopak upíná k objektům drobitelným, takovým jež lze oždibovat dle libosti, jakož i dělit, nastavovat či zmenšovat. Obě hájemství královny věd mají svá specifika. Celá čísla můžete rozložit na prvočinitele, což se vám s reálnými čísly obecně nepodaří (π se nedá faktorizovat ani vysokotlakou palicí). Na druhé straně v reálných číslech si můžete vzít dva velmi blízké body a zkoumat, jak se liší jejich funkční hodnoty - trik, na kterém je založena jedna z nejsilnějších zbraní spojité analýzy - derivace.
To ale neznamená, že by matematika - jako pevninská deska - ztratila svou územní jednolitost. Počítání s diskrétními i spojitými objekty se v mnohém překrývá a obě oblasti se obohacují o kvantitativní postupy. Přesto když se podíváme na jednotlivé disciplíny, nelze si nevšimnout, že některé jsou ukotveny spíše v diskrétních machinacích (kombinatorika, teorie čísel, teorie grafů), zatímco jiné svou povahou spadají do oblasti spojité (geometrie, calculus, komplexní analýza).
Mnohé disciplíny se ale musí umět postarat o oba typy kvantit - algebra se zabývá množinami, se kterými lze provádět algebraické operace a musí to zvládnout jak ve spojitém případě (translace v rovině), tak v diskrétním (symetrie čtverce). Ještě lépe je to vidět na statistice, která si na to konto vytvořila dvoukolejný systém a stará se o kvantitativní spravedlnost prostřednictvím spojitých a diskrétních náhodných proměnných (většinu jejích vzorečků lze přesunout z jedné koleje na druhou prostou záměnou sumačního symbolu za integrál a naopak - viz sekce Jauvajs).
Takový přechod z jednoho světa do druhého je užitečný i mimo rámec statistiky. Pokud přeskakujeme ze světa spojitého do světa diskrétního, mluvíme obecně o diskretizaci, zpátky nás naopak převede třeba interpolace. Nejjednodušší formou diskretizace je vzorkování (sampling) nějakého spojitého toku čísel, obvykle zadaného funkcí, které promění její graf na posloupnost izolovaných hodnot (viz obrázek). Pokud se chceme vrátit do spojitého světa, musíme diskrétní hodnoty interpolovat. Ale pozor, spojitý objekt, který takto dostaneme, se nemusí nutně shodovat s tím původním. Do jaké míry se nám to podaří, záleží na sofistikovanosti interpolačních formulek (na obrázku je použita lineární interpolace, která patří k těm primitivnějším).
Někdy je diskretizace otázkou praktičnosti - peníze jsou médiem diskrétním (mají svou nejmenší dále nedělitelnou jednotku - korunu), přestože hodnota věcí jako taková má charakter spojitý. Ale prostě se nevyplatí používat při transakcích haléře nebo dokonce jejich zlomky. Ze stejného důvodu diskretizujeme například svou výšku, pro jejíž vyjádření (v cm) používáme prakticky výhradně celá čísla.
Další známou diskretizací z praktického života je film. Pokud uděláme nějaké gesto, naše ruka opíše v prostoru spojitou křivku a projde tím pádem nekonečně mnoha polohami. Na filmu je ovšem zachyceno pouze konečně mnoho takových poloh - nasekaných v rytmu 24 políček za sekundu. To je dost na to, abychom z nich dokázali sestavit spojitý obraz (všimněte si na předchozím obrázku, že kdybych si vzal jen 3 diskretizační body, tak už by se mi z nich ta sinusoida rekonstruovala dost těžko).
Na druhé straně existují situace, kdy je výhodnější spojitý popis pomocí reálných čísel. Například pro vyjádření objemu tekutin používáme desetinná čísla, přestože všichni víme, že počet molekul je v principu celočíselný. Jenže zkuste si zastavit u benzínky a požádat, aby vám načepovali 870 trilionů molekul benzínu.
Dualita světa spojitého a diskrétního se dá vystopovat i v ostatních oborech lidské činnosti. Inženýři mají své dilema mezi signálem digitálním či analogovým, fyzici mají na vybranou mezi klasickým (převážně spojitým) či kvantovým (převážně diskrétním) popisem reality a optici se na světlo mohou dívat jako na proud diskrétních částic anebo šíření spojitých vln. A abychom mohli neomezeně hamounit diskrétní i spojité hodnoty, matematika nám poskytuje dva typy nekonečna – „spočetné“ pro diskrétní aktiva a „nespočetné“ pro spojitá.
+++++++++
Interakce mezi spojitým a diskrétním světem patří k nejzajímavějším otázkám matematiky. I proto jsou nesmírně cenné objekty, které mají v tomto ohledu „dvojí občanství“, jako je například funkce zeta, která propojuje otázky distribuce prvočísel s počítáním v komplexní rovině. Ty představují vzácné mosty mezi diskrétním a spojitým světem a umožnují nám propojit matematické jin a jang do jednoho harmonického celku. Ona taky plavba přes hraniční řeku není vždy bez nástrah.
V 90. letech jsem pracoval se skupinou fyziků v oblasti dynamických systémů. Jednou jsme zkoumali určité rezonance na intervalu (0,1) a vyšla nám krásně spojitá rezonanční křivka, kterou vidíte na obrázku vpravo. Její diskretizaci jsme ovšem provedli jinak. Místo abychom prostě navzorkovali tu hladkou sinusoidu (jako v předchozím obrázku), tak jsme do intervalu (0,1) umístili n rovnoměrně rozdělených bodů a s jejich pomocí zformulovali diskrétní verzi samotného procesu. Takový systém už nám na výstupu nevyplivnul spojitou funkci, ale n-tici bodů.
Když jsme viděli výsledek pro n=10, byli jsme trochu zklamáni. Diskrétní verze našeho procesu se chovala zcela proti očekávání a sinusoidu v těch deseti bodících bylo lze spatřit jen po konzumaci solidního množství alkoholu. Spíš to vypadalo na jakousi zdvojenou přímku. Nicméně když jsme diskrétní n-tici zahustili na 25 bodů, začali jsme v rezonanční křivce rozeznávat její spojitý protějšek. A pro n=100 už jsme byli prakticky doma. Z té sekvence obrázků je vidět, že máme-li k dispozici dostatek diskrétních bodů, dokážeme vytvořit iluzi spojitého světa stejně dobře jako filmová kamera. A této schopnosti diskrétního světa se v matematice hojně využívá.
Většina procesů, které známe z reálného světa, má spojité vyjádření ve formě diferenciálních rovnic (popisujících vztahy mezi funkcemi a jejich derivacemi). Tato niť se táhne fyzikou od Newtonových zákonů přes Maxwellovy rovnice až po Schrödingerovu rovnici. Problém je, že většina diferenciálních rovnic se nedá analyticky vyřešit. Proto se oblast, ve které hledáme řešení, obvykle diskretizuje (pokryje dostatečně hustou sítí oddělených bodů) a problém se vyřeší aproximací. Diferenciální rovnice se převedou na soustavy rovnic algebraických (pro chování jednotlivých bodů sítě) a ty se většinou dají (počítačem) vyřešit. Kdy je takové diskrétní přiblížení dostatečně přesným řešením původního problému, je poměrně komplikovaná otázka, kterou se zabývá disciplína zvaná numerické metody.
Ačkoliv pro nás, matematiky, je svět vcelku vyváženým prolnutím spojitého a diskrétního elementu, ve fyzice jsou obě strany zaklesnuty v nerovném souboji, ve kterém spojitý element už několik století ztrácí půdu pod nohama. Nejprve nás zradila hmota, když vyjevila svou korpuskulární povahu - takže žádný spojitý tok piva, ale kap-kap jednotlivých molekul. A před sto lety nás zradila i energie, která po estetické konzultaci s Maxem Planckem usoudila, že spojitost už není in a rozhodla se přesouvat z jednoho místa na druhé pouze v diskrétních kvantech. Skoro to vypadá, že poslední baštou spojitého elementu - hřištěm, na kterém se reálná čísla mohou ještě stále dosytosti vyřádit - je sám prostor (resp. časoprostor), v němž se všechny ty korpuskulární a kvantové tanečky odehrávají.
Literární shrnutí: Z hlubokého kaňonu se ozývalo toužebné vytí kojotů. Rozžhavená tvář zapadajícího slunce zalila arizonskou poušť červenavým přísvitem, jako by byla do krve rozedřena ostrými bodlinami kaktusů na obzoru. Vzrušená nálada letního podvečera prosakovala zaprášenými okny i do poloprázdného saloonu na okraji městečka Silver Creek. U poličky s lahvemi kořalky stál podsaditý barman a péřovou prachovkou ometal méně oblíbené značky lihovin. Pod obrazem vztyčeného medvěda seděli dva pistolníci a přeli se o malé naleziště zlata na horním toku říčky. Na druhé straně místnosti seděl čerstvě oholený Krvavý Džejk a kombinací osobního šarmu a kvalitního destilátu se pokoušel přesvědčit šantánovou tanečnici Betty Lou, aby s ním sklouzla po šikmé ploše neřesti do stavu smyslového vytržení, který lze nejlépe navodit vášnivým spojením dvou těl opačného pohlaví. Hlasem hedvábným jako poslední kapka whiskey hledal skulinku v její obranné formaci: „Madam, vaše oči dnes září jako rozkvetlá agáve.“ Betty Lou se polichoceně zapýřila, několikrát zatřepotala dlouhými řasami a usrkla obligátně ze své skleničky. Džejkův pohled spočinul v krajinách ukrytých za hedvábnou krajkou: „Ve vzduchu dnes voní spojitost - cítíte? - snad bychom se i my dva mohli oddat jejímu naléhavému vábení.“ Do sálu pronikl poslední svazek paprsků dohasínajícího slunce a podbarvil tvář tanečnice nachovým ruměncem. „Myslím, že nalehnutí by bylo možné, ale...,“ špitla opatrně a sklopila svůj pohled. „Ale?“ zopakoval Krvavý Džejk a svou širokou dlaň, se kterou v sevřené formě orazítkoval lícní kost nejednoho bídáka, položil co nejjemněji na její bělostnou paži. Betty Lou ztišila hlas: „...ale dokážete být diskrétní?“ Džejk se světácky pousmál a v očích mu zablýskaly vítězné plaménky. Naklonil se k tanečnici a z náprsní kapsy jelenicové kazajky povytáhl malou zažloutlou knížečku tak, aby bylo i v přítmí lokálu dobře vidět na její titul: „Sbírka příkladů z diskrétní matematiky pro 3. ročník kovbojských učilišť.“
Je náš prostor spojitý, nebo diskrétní?
S tím, že hmota i energie jsou diskrétní, už jsme se jakž takž vyrovnali. Představme si třeba měděný drátek z propojených atomů mědi (viz obrázek). Přestože se na délku drátu díváme jako na spojitou veličinu (a reprezentujeme ji reálným číslem), je nám jasné, že ve skutečnosti musí jeho délka být celočíselným násobkem nějakého malého čísla d - podle toho, kolik atomů se nám podařilo zřetězit (a berte to samozřejmě jen jako myšlenkový pokus, tak tenký drátek zatím nikdo nevyrobil). Ve finální fázi můžeme jeden atom přidat nebo ubrat, takže se délka může posunout o další d, ale půlku d přidat nemůžeme.
Zato v prostoru si s tím drátkem můžeme popotahovat podle libosti a umístit ho (na ose x) do kteréhokoliv reálného čísla. Počkat. Anebo nemůžeme?
V posledních několika letech se z říše fyziky ozývají sílící hlasy, že i sám prostor má diskrétní povahu a že si tedy s tím drátkem nemůžeme cloumat, jak uznáme za vhodné. Diskrétnost prostoru si můžeme představit jako vroubkování na obrázku. Pokud jste se někdy váleli na opalovacím lehátku, určitě jste si všimli, že při jeho sklápění si nemůžete úhel opalování nastavit libovolně, ale musíte spojovací tyčku nasadit do jedné z připravených drážek (zoubků). To znamená, že při sklápění se musíte spokojit s jednou z konečně mnoha poloh (namísto spojitého spektra možností).
A s prostorem by to mohlo být podobné. Pokud je ve své povaze diskrétní, znamená to, že si ten drátek nemůžeme posunout, jak by se nám líbilo, ale vždy pouze o jeden z těch zelených „zoubků“. Naštěstí jsou ty prostorové zoubky neuvěřitelně jemné, takže se nemusíme obávat, že by nám to při prostorovém přemisťování způsobilo nějaké těžkosti (stejně jako se nemusíte při vaření obávat, že se vám nepodaří odměřit přesně 10 ml vody, protože její poslední molekulou tu desítku těsně přelezete).
+++++++++
Max Planck, jeden z otců kvantové mechaniky, si na konci 19. století povšimnul, že základní fyzikální konstanty - rychlost světla c, gravitační konstanta G a redukovaná Planckova konstanta ћ - se dají složit tak, že budou mít rozměr délky: L = sqrt(ћG/c3). Pokud si to číslo spočítáte, vyjde vám cca 1.6E-35 m (tj. 1.6 krát 10 na -35).
Ze začátku se zdálo, že Planckova délka je jen číselnou hříčkou nebo v lepším případě akademickým cvičením, ale postupem času se ukázalo, že její hodnota se mysticky objevuje při studiu subkvantového světa (např. v teorii strun) a případné zrnitosti (tedy „diskrétnosti“) našeho prostoru. V každém případě se zdá, že tato délka (a to, co se v prostoru odehrává v jejím rozměrovém pásmu) je důležitou ingrediencí pro pochopení kvantové gravitace, jednoho z nejdůležitějších nevyřešených problémů soudobé fyziky.
Abyste si mohli udělat představu, jak neuvěřitelně malý je tento hypotetický „atom“ prostoru, představte si, že vodíkové jádro zvětšíme na rozměr basketbalového míče. Planckova délka pak bude zhruba odpovídat původnímu rozměru toho jádra. Vodíkové jádro je tedy exponenciálně vzato prakticky v polovině „hloubkové“ vzdálenosti mezi námi a Planckovou délkou (viz tento obrázek). A co je ještě šokéznější - pokud odhadneme šířku vlasu na 0.1 mm, pak je tato šířka takřka přesně v polovině cesty mezi Planckovou délkou a velikostí pozorovatelného vesmíru (8.8E+23 km). To je náhodička, co? Jako by oba extrémy byly stejně nedosažitelné.
Ale vážně. Jak si tu Planckovu délku a její roli ve fyzice představovat, je v podstatě na vás. Žádná všeobecně akceptovaná teorie zatím - i přes intenzívní výzkum - není k mání. Ve zbytku této sekce se pokusím popsat tři možné scénáře, co by se asi tak s prostorem na úrovni Planckovy délky mohlo dít (berte to ale jen jako můj osobní neodborný pohled na soudobou fyziku).
1. Dlažební kostky
Asi nejjednodušší (byť trochu naivní) způsob, jak si Planckovu délku představit, je dívat se na ni jako na rozměr dlažebních kostek, ze kterých se skládá náš prostor. Už se v něm nemůžeme vrtnout, kam chceme, přesně jako v tom příměru s lehátkem, ale můžeme jen přeskočit z jedné „kostky“ na druhou. Tak jako nemůžeme mít ve vědru zcela libovolné množství vody, ale pouze celočíselný počet molekul, nemůžeme ani do prostoru umístit testovací částici, kam se nám zlíbí, ale musíme ji posadit na jednu z diskrétních „kostek“ - na tuhle, anebo tamhle na tu, ale ne mezi (jako když si v kině musíte sednout na určité sedátko, a ne kamkoliv na dlouhé lavici dané řady).
Tak radikální myšlenka by zřejmě znamenala revoluci ve fyzice, protože spojitost je zabudovaná do jejích samotných základů: vše se odehrává v eukleidovském prostoru R3 (resp. v jeho prostoročasové verzi). Speciální relativita například předpokládá, že vzdálenosti nejsou absolutní, ale mění se od jedné inerciální soustavy k druhé. Pokud by ale vzdálenost byla celočíselným násobkem nějaké základní dlažební kostky, jak by se ta Lorentzova transformace aplikovala? A bez šrámu z toho asi nevyleze ani kvantová mechanika - konkrétně Heisenbergův princip neurčitosti. Pokud do něj dosadíme nejmenší možnou změnu souřadnice x, bude mít odpovídající změna hybnosti (odvozená z rovnosti) nějaký fundamentální význam?
Fyzika se naštěstí nedívá na prostor jako na dlažební kostky. To je jen taková představa pro nás, laiky. O popis diskretizace prostoru se v současné době pokouší několik teorií. Jednou z možností jsou tzv. kauzální množiny (causal sets), které spojitý časoprostor nahrazují diskrétní množinou bodů, na níž je definované částečné uspořádání reprezentující kauzální vztahy (tedy informace o tom, které události v prostoročasu dokáží - vzhledem ke konečnosti rychlosti světla - ovlivnit jiné události). Diskrétnost takového prostoru je pak garantována podmínkou, že z každého bodu lze kauzálně dosáhnout pouze na konečně mnoho jiných bodů.
Problém je, že tyto body si nemůžete představit, jako že se vznášejí v jakémsi základním spojitém médiu, a při jejich popisu pak využívat známých vlastností Minkowského prostoru. Tyto body ten časoprostor reprezentují a kromě nich a zmíněného kauzálního uspořádání nemůžete použít žádný tradiční geometrický mechanismus. Celou teorii musíte vybudovat od základu - počínaje tím, co jsou vlastně geodesiky (zhruba: křivky, podél nichž se šíří světlo), jak definovat dimenzi, zakřivení atd. Jinými slovy z té diskrétní množiny bodů a definičního uspořádání musíte opatrně zrekonstruovat celou geometrii prostoročasu (více zde a nebo zde).
2. Kvantová pěna
Dalším možným scénářem pro realizaci Planckovy konstanty je myšlenka kvantové pěny, navržená v roce 1955 Johnem Wheelerem. Podle této představy je náš prostor hladký a spojitý jen do určité „hloubky“ - jakmile „zaostříme“ na rozměr řádově srovnatelný s Planckovou délkou, začne vlivem kvantových fluktuací krabatět, takže jeho povrch nebude připomínat klidnou hladinu jezera, ale spíše turbulentní vření horké polévky (pro vizuální představu, jak by to mohlo vypadat, se mrkněte sem a nebo sem). Mějte ale opět na paměti, že kvantová pěna neplave v (časo)prostoru, ona ten (časo)prostor přímo reprezentuje.
Heisenbergův princip neurčitosti připouští, že po krátkou dobu mohou v prostoru vznikat virtuální páry částic a antičástic. Podle Einsteinovy obecné teorie relativity zakřivuje hmota prostor, takže každý takový pár udělá do hladkého povrchu prostoru malý vroubek, asi jako když vám kamínek z protijedoucího náklaďáku udělá malou ďobku do kapoty. A protože se to děje prakticky neustále, prostor je pod vytrvalou palbou virtuálních kamínků. A tak jako si vašeho „poďobaného“ auta všimnete až při bližším ohledání, ta „roztrhanost“ časoprostoru se projeví teprve v řádové úrovni Planckovy délky.
Tato „fragmentace“ neposedného prostoru je jedním z důvodů, proč se stále nedaří skloubit kvantovou teorii s teorií gravitace - na kterou se díky Einsteinovi díváme jako na projev zakřivení (časo)prostoru. A to se dá popsat pouze, pokud je prostor dostatečně hladký. Na obrázku vpravo nahoře je takový hladký prostor naznačen modrou křivkou. K ní lze v každém bodě zkonstruovat tzv. oskulační kružnici (zeleně), která ji v tom bodě nejlépe aproximuje. Reciproká hodnota jejího poloměru (1/r) pak definuje křivost naší křivky v bodě c1. Jakmile ale náš prostor začne „vřít“, už to s tou křivostí není tak jednoduché (spodní část obrázku). Máme se při aproximaci držet každého klikyháku (c3), a nebo máme naší kružnicí postihnout jen obecné (zprůměrované) zakřivení (c2)? Tady je každá rada dobrá. A to je ta (červená) křivka na obrázku stále hladká. Při větším rozlišení by se rozkmitala ještě více a nakonec by ztratila hladkost úplně, takže milá oskulační kružnice by se nedala sestrojit vůbec. Pak se ale nedá mluvit o křivosti, a tím pádem ani o gravitaci. A babo raď.
Jednou z teorií, která se snaží kvantizaci prostoru uchopit, a tím zprostředkovat kvantovou verzi gravitaci, je loop quantum gravity (smyčková teorie gravitace). Ta se rozloučila s vizí spojitého prostoru a pokouší se jeho „zrnitost“ popsat pomocí tzv. spin network (spinové sítě), což je jakási síť propletených smyček, takže si strukturu prostoru můžeme představit jako vlněný svetr od babičky. Výrazem spin foam (spinová pěna) se pak označují její dynamické změny v průběhu času (více zde a nebo zde).
Důležitost hladkého prostoru spočívá v tom, že v něm lze definovat smysluplné souřadnice. Tedy stojíte-li v pozici x=1.7 a posunete se doleva o 0.1, dostanete se do prostorového bodu se souřadnicí x=1.6. Pokud se ale prostor v určitém rozlišení začne chovat jako vroucí pěna (která vás lokálně zavede náhodným směrem), nedají se na něm souřadnice vůbec definovat a to brání vybudování smysluplné fyziky.
V tomto pojetí má Planckova délka význam jakéhosi limitního zaostření, tedy hranice, do které lze prostor a jeho souřadnice brát vážně. Pokud jsou dva body v prostoru blíže než tato délka, nedá se z důvodu „vření“ jejich poloha rozlišit. Ta „pěna“ pak nemusí být ani diskrétní - koneckonců pěnu známe i ze spojitého světa. Tímto směrem se ubírá kupříkladu teorie zvaná Asymptotic Safety (doslova: asymptotická bezpečnost).
Také není vyloučeno, že pod Planckovou délkou má prostor fraktální povahu, což by byl jeden z možných způsobů, jak nasimulovat nekonečnou hloubku. Některé fraktály v sobě mají zabudovaný samopodobný mechanismus, který se směrem do nitra prostoru dokáže replikovat a vytvořit tak zdání menších a menších škál. A pěnivost je fraktálům vyloženě vlastní - viz video na konci - proto taky mají zhusta neceločíselnou dimenzi. Dokonce mi přijde, že do vnitřní struktury takového fraktálního prostoru by se dala zakódovat spousta užitečných fyzikálních vlastností. To už je ale bohapustá spekulace, takže popojedem.
3. Alenka za zrcadlem
Další možnost, jak si představit to, co se děje na úrovni Planckovy délky, je trochu exotická.
Nastoupíme s Alenkou do myšlenkového batyskafu, který se dokáže postupně zmenšit až do velikosti pouhého bodu, a s ním vyrazíme na průzkum subatomárních škál našeho prostoru. „Škáloměr“, který nám ukazuje momentální „velikost“ okolního prostoru r, si nastavíme tak, aby pracoval v násobcích Planckovy délky (nebo nějaké podobné elementární jednotky), takže na počátku výpravy svítí na jeho displeji nekřesťansky veliké číslo. Jak se pomalu noříme do mikrosvěta, poctivě zapisujeme fyzikální jevy kolem sebe. Za chvíli se za okny objeví první molekuly, posléze i atomová jádra, ale my pokračujeme neohroženě hlouběji. Jenže matička příroda na nás ušije habaďůru. Zatímco náš „škáloměr“ nám poctivě ukazuje hodnotu r, přírodní zákony kolem nás se řídí hodnotou r+1/r. Toho si na začátku vůbec nevšimneme, protože pro velká r je hodnota r+1/r prakticky nerozlišitelná od r (např. je-li r milion, bude r+1/r = 1000000.000001). Jenže v okamžiku, kdy „proplujeme“ Planckovou délkou, nás čeká šok: vesmír kolem nás je stejný, jako byl před okamžikem. To, co vidíme kolem sebe, řekněme, pro hodnotu r=1/2, je to samé, co jsme viděli při hodnotě r=2 (schválně si obě do té funkce dosaďte). Jak se propadáme do menších a menších škál, vesmír už žádnou novou fyziku neprodukuje a za okny se pouze opakuje povědomá scenérie.
Tou kouzelnou ingrediencí, která je zodpovědná za divné chování našeho vesmíru, je symetrie. Funkce x+1/x je symetrická vzhledem k reciprocitě. Tedy ať do ní vložíme x nebo 1/x, vrátí nám na výstupu to samé číslo (pro x=100 bude stejné jako pro x=0.01: y=100.01). Když si vykreslíte graf této funkce (vpravo), uvidíte, že pro velká x se chová jako samotné x (příspěvek od 1/x je v takovém případě zanedbatelný). Jak ale x zmenšujete (tedy přibližujete se zprava k počátku), tak v jistém okamžiku (x=1) se funkce obrátí a pak už nám na výstupu žádné nové funkční hodnoty neposkytuje. Pouze projíždí hodnoty y, které už jsme jednou viděli. V takovém modelu vesmíru hraje jednička *(tedy Planckova délka) roli nejmenší hodnoty, pro kterou nám naše „fyzikální“ funkce poskytne něco nového. Pak už jenom obracíme listy knížky nazpátek.
Připadá vám to za vlasy přitažené?
V teorii strun, která nevidí elementární částice jako bodové objekty, ale jako malilinkaté struny, se jedna taková symetrie vyskytuje. Říká se jí T-dualita a popisuje chování strun v dodatečných dimenzích, které jsou stočeny do exotických útvarů zvaných prostory Calabi-Yau, ale které si můžeme představit jako malé sféry, které umožňují kmitání strun. A jedna z interpretací teorie strun praví, že kmitání strun v „kuličkách“ o poloměru r (opět měřeno v násobcích nějaké elementární délky) se nedá z pohledu fyziky odlišit od kmitání strun v „kuličkách“ o poloměru 1/r. Prostor má tedy na Planckově úrovni přesně tu symetrii, kterou jsme pozorovali v našem batyskafu. Kmitající struny ve vesmíru, jehož stočený rozměr je r=3, mají svůj přesný ekvivalent ve vesmíru, jehož rozměr je r=1/3 (více se o tom dočtete v kapitole 10 knížky Elegantní vesmír od Briana Greena).
Trochu to připomíná návštěvu zrcadlového bludiště. Stojíte v poměrně malém uzavřeném prostoru, ale díky zrcadlům máte pocit, že prostoru je kolem vás víc než dost. Je to ale jen iluze. Když zatápete rukou, zjistíte, že část vašeho prostoru je reálná, ale větší část je jen odraz vytvořený zrcadlem. A tak nějak si představuju nekonečnou hloubku (dělitelnost) prostoru v podání teorie strun. Je to jen iluze způsobená T-dualitou. Ve skutečnosti už pod Planckovou délkou (zrcadlem) žádné menší rozměry neexistují - vše ostatní je pouhým odrazem předchozího a fyzikální vlastnosti se začnou opakovat.
+++++++++
Jako přesvědčený minimalista musím přiznat, že se mi velmi líbí i méně obvyklé názory, podle kterých by hmota samotná mohla být jen vlastností prostoročasu. Představme si ho na okamžik jako provázek. Uděláme na něm uzel a ejhle - najednou to vypadá, že na provázku „něco“ je. A přitom je to jen „excitovaný“ prostor. Zdálky by se ani nedalo poznat, zda jsme na něj místo uzlíku nenavlékli korálek (hmotu). Tímto by se krásně vysvětlila záhada, odkud se vlastně hmota vzala, a pánubohu by se ušetřila spousta práce - místo namáhavého zhmotňování matérie by prostě jen zauzloval prostoročas a po ftákách. To už se ale dostávám na pole čiré fantazie, ba přímo mystifikace...
+++++++++
Sekce jauvajs: Integrál versus součet
jen pro mimořádně otrlé povahy
Jednou z úloh, která hezky ukazuje rozdíl mezi diskrétním a spojitým světem, je problém zjištění průměrné hodnoty dané veličiny. Představme si, že máme měřicí zařízení, které zaznamenává nějakou empirickou kvantitu (třeba vlhkost vzduchu). Toto zařízení může operovat ve dvou základních režimech. Buď měříme hodnoty spojitě a z měřicího zařízení de facto leze spojitá funkce reálné proměnné (času), a nebo je měříme jen, řekněme, každou hodinu a pak nám z přístroje vystupuje diskrétní posloupnost hodnot.
Dříve než se na průměrnou hodnotu podíváme, je dobré si uvědomit obecnou poučku, a totiž že průměrná hodnota P (přes nějaký časový interval) je akumulovanou (souhrnnou) hodnotou naší veličiny vydělené „velikostí“ intervalu měření (což bude v diskrétním případě počet měření a ve spojitém délka měřicího období). Pokud začneme měřit v nějakém časovém bodě t=a a skončíme v bodě t=b, tak se spojitá i diskrétní verze dá zapsat formálně podobným zápisem (f je funkce popisující naši veličinu)
Diskrétní verze je jasná. Abychom zjistili „akumulaci“ naší veličiny, tak hodnoty sečteme a pak vydělíme počtem měření (aby se mi ve jmenovateli nepletla jednička, tak používám trochu netradiční sčítací konvenci: suma obsahuje spodní mez, ale ne tu vrchní - takže naznačený součet je: f(a)+f(a+1)+...+f(b-2)+f(b-1)). V našem případě je a=1, b=7 a pokud si ten diskrétní průměr spočítáte, vyjde vám 0,154.
U spojité verze je výpočet průměrné hodnoty krapet obtížnější, protože náš měřicí přístroj „jede nonstop“. Celková akumulace naší veličiny je v tomto případě plocha pod křivkou. Představte si na chvilku, že modrý graf je tvořen tenkou vrstvičkou nějaké zmrzlé kapaliny (třeba ledu) mezi dvěma skleněnými deskami. Abychom zjistili průměr, tak bychom potřebovali kapalinu rozmrazit (samozřejmě předpokládám, že se při tom nebude roztahovat a že na krajích postavíme zátarasy, aby nevytekla) a pak prostě počkat, kde se ustálí hladina - to je ta červená úsečka (průměr vyjde v tomto případě P = 0,124). Jinými slovy, my tu modrou plochu prostě převedeme na „stejnoplošný“ obdélník a jeho výška nám pak prozradí průměrnou hodnotu P (pokud přístroj ukazuje stále tutéž hodnotu, tato hodnota musí být nutně průměrem).
Ta plocha pod grafem funkce f od a do b se značí symbolem integrálu (říká se mu určitý). Jeho výpočet je poměrně složitý, ale v dnešní době to za vás v mnoha případech udělá počítač. Důležité je vědět, co integrální symbol znamená. Můžete se na něj dívat jako na akumulovanou hodnotu funkce od a do b (tedy plochu pod grafem), a nebo jako na průměr funkce přes tento interval pronásobený rozdílem b-a (pro většinu lidí je průměr - na rozdíl od akumulované hodnoty - podstatně stravitelnějším soustem).
Porovnáním obou vzorečků zjistíte, že tam, kde v diskrétním světě sčítáte, ve spojitém integrujete. Jak integrováním, tak sčítáním se snažíte dobrat toho, kolik dané kvantity na intervalu (a,b) vlastně je. V jistém smyslu se dá říci, že součet je diskrétním protějškem integrálu anebo že integrál je spojitou verzí součtu.
Aby to bylo ještě jasnější, tak vám ukážu, že i sumu si můžete představit jako plochu. Vezměme si funkci f(x)=1/x2, zobrazme si její graf a spočtěme si její akumulovanou hodnotu od 1 do nekonečna.
V diskrétním případě nám vyjde součet:
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ...
(kdo si pamatuje funkci zeta, poznává v něm hodnotu zeta(2))
Tento součet si můžeme představit jako souhrnnou plochu červených obdélníčků na dalším obrázku. Každý z nich má totiž výšku odpovídající členům předchozí řady a šířku rovnou 1.
Ve spojitém případě spočteme plochu A naznačeným integrálem.
Zajímavé je, že člověk by čekal, že ta suma bude jednodušší. Koneckonců sčítat se naučíme už na základní škole (i když nekonečně mnoho sčítanců nám to trochu komplikuje), zatímco integrování je téměř synonymem pro zapařenou matematiku a většina soudných lidí se mu vyhýbá jako čert kříži. Přesto se ukázalo, že spočítat integrál je jednodušší. Vyjde nám 1 a zvládne to každý student techniky. Sečíst řadu je oproti tomu fuška a zapotí se u toho nejeden matematik. Vyjde nám π2/6. Ještě markantnější je ten rozdíl u funkce f(x) = 1/x3. I zde si integrál lehce spočítáme a vyjde nám 1/2. Odpovídající součet pro řadu (reciprokých třetích mocnin) už najít neumíme. Tedy přesněji - umíme najít desetinné vyjádření konečného součtu s libovolnou přesností, ale nevíme, jak ten výsledek zapsat analyticky nějakou formulkou.
A závěrem ještě malou poznámku. To, že diskrétní svět není až tak jednoduchý, jak by se na první pohled mohlo zdát, potvrzuje i to, že velká řada problémů dotýkajících se prvočísel je stále nevyřešená.
+++++++++
Na uklidněnou si dnes dáme instrumentálku nazvanou lapidárně Opus. Vybral jsem ji hlavně proto, že má jako video doprovod tzv. „fraktální zoom“, který lépe než cokoliv jiného dokáže ilustrovat rozměrovou hloubku prostoru (zde dvoudimenzionálního). Ruku na srdce, kdo z nás si dovede představit titěrnost krabičky, do které se dá napěchovat jádro vodíku. Na něco takového prostě nejsme zvyklí.
Ve video ukázce uvidíte Mandelbrotovu množinu, nejprve jako celek a potom jako postupné zvětšování její předem vybrané části. Jak kamera zajíždí do detailů této množiny (jako bychom seděli ve výše zmíněném batyskafu), pozorujeme stále menší „výřez“ původního obrázku. A protože fraktál žije v komplexní rovině, můžeme se do něj nořit stále hlouběji bez obav, že bychom narazili na nějakou fyzikální hranici (komplexní rovina je též spojitá a dá se dělit na menší a menší části bez jakéhokoliv omezení). Na webu najdete poměrně dlouhé zoomy, které se dostanou hluboko přehluboko pod pomyslnou hladinu Planckovy délky. Nicméně pokud si představíte, že ta Mandelbrotova množina není matematickou idealizací, ale že se nalézá v našem skutečném fyzickém prostoru, můžete si ty tři scénáře z předchozí sekce představit pomocí fraktálního zoomu následujícím způsobem (a nezapomeňte, že je to jen analogie).
Pokud platí scénář 1 (dlažební kostky), tak v okamžiku, kdy v průběhu přibližování narazíme na Planckovu délku (tj. rozměr stále se zmenšujícího výřezu dosáhne této hodnoty), najednou zjistíme, že už nemůžeme dále zjemňovat rozlišení rozdělením pixelů na menší části. Ta poslední sada pixelů se bude pouze zvětšovat a nakonec by vám jeden jediný pixel vyplnil obrazovku a žádné další detaily fraktálu už neuvidíte.
Pokud platí scénář 2 (kvantová pěna), tak se v okamžiku přiblížení k Planckově hranici obraz postupně rozostří, pixely začnou kmitat, barvy se začnou prolínat a z jasného obrázku se najednou stane chaotické rojení bodů (něco jako zrnění na starých televizích).
No a pokud platí varianta 3 (Alenka za zrcadlem), tak zjistíte, že v okamžiku, kdy se prokoušete prostorem až na Planckovu úroveň, tak se najednou přestanou objevovat nové a nové fraktální formace a na obrazovce se objeví ty, které už jste viděli. Jako byste si pustili film pozpátku. To je hrubá představa symetrie, která za T-dualitou vězí.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru
iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora.
Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
