Jednou z ingrediencí slavného Wilesova důkazu Fermatovy věty v roce 1996 byla tzv. p-adická čísla. Jejich rozvoj vede k tak podivné geometrii, že by v tom byl čert, aby nenašla uplatnění v kvantové mechanice nebo teorii strun.
(Lasciate ogne speranza, voi ch'intrate)
Ten báječný třírozměrný prostor, ve kterém žijeme - to médium, kterým plachtí Cyranův širák, do kterého stoupá dým bramborové natě a skrz které skáčeme šipku do jihočeského rybníka - není z pohledu matematiky nic jiného než R3, tedy trojnásobná kopie reálných čísel - každý bod tohoto prostoru lze popsat trojicí reálných souřadnic (x, y, z).
Reálná čísla se dají dělit na menší a menší segmenty bez jakéhokoliv omezení. Díky této vlastnosti můžeme svou polohu v prostoru zaznamenat s libovolnou přesností - obvykle na dvě desetinná místa, ale v případě potřeby klidně na pět anebo dokonce - alespoň v principu - na sto.
V minulém Matykání jsme viděli, že se soudobá fyzika začíná pomalu přiklánět k názoru, že to s tou nekonečnou dělitelností zase není tak slavné. V okamžiku, kdy se dostaneme zhruba na 35. desetinné místo, tak se prostor začne našemu úsilí o zvyšování přesnosti vzpouzet. A to nastoluje zcela fundamentální otázku: pokud reálná čísla nejsou dobrým modelem pro vlastnosti fyzikálního prostoru na subkvantové úrovni, kde máme hledat alternativu? Jednou s tou kvantovou pěnou přece budeme chtít provádět aritmetické kousky.
Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel (zlomků) procesem, kterému říkáme zúplnění - to zhruba znamená, že k těm zlomkům přidáme i všechny možné limity jejich posloupností (např. iracionální číslo pí je limitou racionálních čísel 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159 atd.). Zajímavé je, že již v roce 1916, tedy zhruba v době, kdy vznikala moderní fyzika tak, jak ji dnes známe, publikoval ruský matematik Alexandr Ostrovskij větu, ze které vyplývá, že toto zúplnění lze udělat pouze dvěma způsoby. Při tom prvním (standardním) dostaneme ze zlomků výše zmíněným procesem klasická reálná čísla, použijeme-li ten druhý (téměř neznámý i profesionálním matematikům), obdržíme exotický číselný systém, kterému říkáme p-adická čísla.
Když se tedy fyzikové začali pídit po možné alternativě reálných čísel, tato zpola zapomenutá matematická obluda neunikla jejich zájmu a její stopu nalezneme jak v teorii strun, tak v kvantové mechanice. Koneckonců chystáme-li se nahradit reálná čísla, měli bychom nejprve zkusit jiné zúplnění racionálních čísel, než začneme experimentovat s nějakými opravdu radikálními variantami - např. s oktoniony nebo nedejpřírodo se skaláry na bázi švestkových povidel (ruku na srdce - taková Schrödingerova rovnice by se v množině povidel řešila velmi obtížně, o zamatlaných operátorech ani nemluvě).
Proto vás dnes pozvu na malý výlet do neobyčejného světa p-adických čísel i bizarní geometrie, kterou tato algebraická zvířátka svou existencí umožňují. A protože křivolaká stezka poznání se v tomto případě vine po hřebeni nekonečna, nebude to žádný nedělní špacír. Rychloupínací mačky a spacák s sebou.
Počítáme se zbytky
Na samém počátku cesty k p-adickým číslům stojí pojem, který je z celé matematiky snad nejjednodušší. Sudá a lichá čísla.
Když se na ně podíváme trochu techničtěji, zjistíme, že jsou to čísla, která po vydělení dvojkou zanechávají zbytek buď nula (sudá čísla) nebo jedna (lichá). Odborně těmto dvěma množinám říkáme „zbytkové třídy“. Ekvivalent se samozřejmě dá zkonstruovat i pro trojku - jen ty třídy dostaneme tři. Mohli bychom jim říkat třeba čísla červená, modrá a zelená, podle toho, jaký zbytek zanechají po vydělení trojkou (v závorce):
červená (0): {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...}
modrá (1): {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, ...}
zelená (2): {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...}
A stejně bychom mohli postupovat i pro ostatní čísla - jenom by tam těch zbytkových tříd bylo už tolik, že bychom si s přídavnými jmény asi nevystačili. A tak se budeme muset naučit jedno kouzelné slovíčko: kongruence (až budete někdy sedět se svou milou na prohřáté mezi, tak jí ho zašeptejte do ouška a uvidíte jak zjihne).
Pokud jsou dvě čísla x a y ve stejné zbytkové třídě - pro nějaký pevně zvolený základ n - tak říkáme, že jsou kongruentní moduló n (samo n se zove modulus) a tuto skutečnost zapisujeme pomocí Cimrmanova trojčárkového operátoru:
x ≡ y (mod n)
Takže fakt, že nějaké celé číslo x je liché, můžeme zapsat takto
x ≡ 1 (mod 2)
a místo slovního vyjádření, že 5 i 11 jsou „zelená“ čísla, můžeme napsat
5 ≡ 11 (mod 3)
To, že dvě čísla mají stejný zbytek (vzhledem k pevně zvolenému n), znamená, že jejich rozdíl je dělitelný n, a z toho zase vyplývá, že ten rozdíl se dá napsat jako celočíselný násobek n. Takže uvedené zápisy jsou ekvivalentní:
(a) x ≡ y (mod n)
(b) n | (x-y)
(c) x-y = kn (pro nějaké celočíselné k)
Do kongruence můžeme namíchat i aritmetické operace, takže lze napsat
7+11 ≡ 3 (mod 15) nebo 7*11 ≡ 2 (mod 15)
Zajímavé je, že pokud v té kongruenci vystřídáte členy dané zbytkové třídy, tak se její charakter nezmění. Když si vezmeme výše zmíněné třídy pro trojku, zjistíme např. že součin dvou zelených čísel je vždy číslo modré. Např.
5*8 = 40 ≡ 1 (mod 3) ale také 5*11 = 55 ≡ 1 (mod 3)
Tohle vede v abstraktní algebře k pojmu počítání se zbytkovými třídami. Kongruence jsou v jistém smyslu rovnice, které se zabývají vztahy mezi celými třídami. Koho to zajímá blíže, může se podívat na pojem multiplikativní grupy mod n. Pro potřeby tohoto článku si ale s grupami nebudeme lámat hlavu a budeme na jednotlivé aktéry v kongruencích i nadále pohlížet jako na čísla - jenom budeme mít na paměti, že ve světě moduló n nás zajímají hlavně čísla od 0 do n-1 (potenciální hodnoty zbytků).
Ovšem nejen čísly živ je matematik. Ošlehaný mořský vlk brázdící aritmetické oceány si musí umět poradit i s proměnnými. A tak se do kongruencí postupně vloudila neznámá x a z pouhého vyjádření aritmetických poměrů ve zbytkových třídách se stal matematický problém. Například: jaképak číslo x by asi mohlo splňovat kongruenci
3*x ≡ 4 (mod 5)
Hledáme tedy celé číslo x tak, aby jeho trojnásobek zanechal zbytek 4 po vydělení 5. Protože moduló 5 máme pouze pět zbytkových tříd: 0, 1, 2, 3 a 4, řešení najdeme oblíbenou studentskou metodou pokusů a omylů. Hezky těch pět možných čísel dosadíme a zjistíme, že řešení je x = 3 (a tím pádem také 8, 13, 18 atd.).
Koho hádání neuspokojuje, může na to jít vědecky. Kongruence 3*x ≡ 4 (mod 5) znamená, že 5 dělí 3x-4 a tedy musí existovat celé číslo k, splňující 3x-4=5k. Toto je lineární diofantická rovnice (hledáme pouze celočíselné řešení) a jedno z jejích řešení je x=3 a k=1. Obecně se tyto rovnice řeší pomocí Eukleidova algoritmu (anebo řetězových zlomků), ale s tím se trápit nebudeme a i nadále budeme používat metodu pokusů a omylů (všechna n v tomto článku budou malá, takže to zvládneme na prstech).
Při počítání se zbytkovými třídami je v podstatě jedno, zda je modulus n prvočíselný nebo ne. Při řešení kongruencí ale prvočísla získají velkou výhodu. Lineární kongruence
a*x ≡ b (mod n)
je pro prvočíselná n vždy řešitelná (s nenulovým a samozřejmě).
Kongruence 5*x ≡ 2 (mod 7) má řešení x = 6 (a tedy také 13, 20 atd.).
Oproti tomu rovnice 5*x ≡ 2 (mod 10) řešení nemá, a když si tuto kongruenci napíšete jako diofantickou rovnici 5*x - 10*k = 2 hned uvidíte proč (ať je x a k jakékoliv, levá strana bude dělitelná pěti, zatímco pravá nikoliv). Proto budu ve zbytku článku uvažovat pouze prvočíselné hodnoty n a budu je značit písmenkem p (i to péčko ve slově p-adická znamená, že uvažujeme pouze prvočíselné hodnoty).
Teď když jsme zvládli lineární kongruence, můžeme zkusit kvadratické. Tady už je to složitější v tom smyslu, že ani pro prvočíselné hodnoty p řešení nemusí existovat vždy. Můžeme si opět zkusit příklad (metodou pokusů a omylů):
x2 ≡ 1 (mod 5)
má dvě řešení (to u kvadratické kongruence tak nějak očekáváme) a to x=1 a x=4 (a s nimi samozřejmě i příslušné zbytkové třídy, takže jsem to mohl zapsat elegantněji jako x ≡ 1 a x ≡ 4). Naopak rovnice
x2 ≡ 2 (mod 5)
žádné řešení nemá (tj. neexistuje celé číslo, jehož čtverec by po vydělení 5 dával zbytek 2). Koho zajímá, za jakých okolností mají kvadratické kongruence řešení a jak se najdou, může se mrknout na kvadratická rezidua.
Možná vám tato modulární aritmetika přijde zbytečně abstraktní, ale dva příklady určitě znáte z praktického života. Při počítání hodin používáme aritmetiku moduló 24, takže je-li 23 hod a další prášek si máte vzít za 6 hodin, budíka si nenařídíte na 23+6=29 hodin, ale na 23+6 ≡ 5 (mod 24) hodin. Proto se v angličtině tomuto typu počítání někdy říká clock arithmetic. Obdobně při počítání úhlů ve stupních používáme aritmetiku moduló 360°. Takže sedíme-li na kolotoči v pozici odpovídajícímu úhlu 200° (měřeno od pokladny) a kolotočář se rozhodne tento úhel zdvojnásobit, dostaneme se do úhlové pozice 2*200° ≡ 40° (mod 360°), protože 40° a 400° leží ve stejné zbytkové třídě. Kontrolní otázka: jak se jmenuje kolotočář?
(dnešní sekce Jauvajs začíná zde - dál jen pro otrlé)
Kongruenční matrjošky
Jeden z průkopníků teorie p-adických čísel, německý matematik Kurt Hensel, je autorem zajímavé věty (Henselovo lemma), která zhruba říká, že jakmile objevíte kongruenci, která je řešitelná pro nějaký prvočíselný modulus p, tak ta samá kongruence už bude řešitelná i pro všechny vyšší mocniny p (tedy mod p2, p3 atd.).
Trikem, na kterém jsou p-adická čísla do jisté míry založena, je, že všechny kongruence ve vyšších mocninách p budeme hledat ve formě rozvoje podle těchto mocnin (je to podobné, jako když si děláte rozvoj čísla při základu p). Při tom je užitečné se na koeficienty těchto rozvojů dívat jako na jakési „souřadnice“ či p-adické číslovky.
Podívejme se na příklad pro p = 5.
Kongruence (mod p3) mají celkem 125 zbytkových tříd - od 0 do 124 - a proto se nám pro praktické počítání hodí si všechna tato čísla zapsat ve tvaru r+s*p+t*p2 (kde r, s, t jsou 5-adické „číslovky“ nabývající hodnot 0 až 4). Například 91 se pomocí mocnin p=5 zapíše takto: 91 = 1+3p+3p2. Nebo „souřadnicově“ 91 = {1,3,3}. Tyto číslovky (či „souřadnice“) vám umožní se ve zbytkových třídách pro danou mocninu p lépe vyznat - jen musíte dávat pozor, jakou ten který autor používá konvenci; někdo to zapisuje obráceně - tedy 91 = 3p2+3p+1 = {3,3,1}, aby to připomínalo desetinný zápis, kde jsou koeficienty u vyšších mocnin také napravo. Já se ale přidržím původní konvence.
Ještě rychle zopakuju, jak se k výsledku propracujeme: kolikrát je v 91 obsaženo p2 (tedy 25)? Třikrát (to je ta pravá trojka). Odečteme 91-3*25=16 a zeptáme se: kolikrát je v 16 obsaženo p (tedy 5). Třikrát (to je ta prostřední trojka). Odečteme 16-3*5 a máme tu jedničku nalevo (více v tomto Matykání). Takže v 5-adickém světě je 91 = {1,3,3}.
Teď, když jsme si vybudovali poměrně snesitelné označení pro počítání ve zbytkových třídách s vyššími mocninami p, se můžeme podívat, jak to Henselovo lemma vlastně funguje - tedy jak nám ty souřadnice pomohou hledat řešení různých vyšších kongruencí.
Nejprve si zkusíme lineární kongruenci pro p = 5.
3*x ≡ 4 (mod 5)
Její řešení už máme: x=3. Takže zkusíme druhou mocninu péčka:
3*x ≡ 4 (mod 52)
Řešení budeme hledat ve tvaru x = r+s*p. Protože rozdíl členů na obou stranách kongruence musí být násobkem p2, dostaneme:
3*(r+s*p)-4 = kp2 pro nějaké celočíselné k. Aby tato rovnice fungovala, musí být 3*r-4 dělitelné péčkem (protože ostatní členy dělitelné péčkem jsou) a to znamená, že 3*r ≡ 4 (mod 5). To jsme si v podstatě jen ověřili, že r je řešením předchozí kongruence, které už známe: r = 3. Teď si ale spočítáme, jakému konkrétnímu násobku p ten rozdíl odpovídá: 3*r-4 = 1*p a toto dosadíme do předchozí rovnice, abychom spočítali hodnotu s:
3*(r+s*p)-4=3*r-4+3*s*p = 1*p+3*s*p = kp2
z té poslední rovnosti po zkrácení p dostaneme
3s+1=k*p
jinými slovy 3s+1 musí být násobek p (to je v podstatě další lineární kongruence mod p), takže vezmeme zbytkové reprezentatnty 0 až 4 a metodou pokusů a omylů zjistíme, že s = 3.
Řešení naší konguence mod p2 je tedy číslo 3+3p, což je bratru 18, a můžete si zkusit, že toto číslo skutečně splňuje kongruenci
3*18 ≡ 4 (mod 52)
A u vyšších mocnin postupujeme analogicky: z těch „předchozích“ souřadnic si vždy spočítáme tu další. Na řadě je třetí mocnina p. Hledejme tedy řešení kongruence:
3*x ≡ 4 (mod 53)
a to ve tvaru x=r+s*p+t*p2. Stejně jako v předchozím případě se ukáže, že ty dvě první souřadnice odpovídají předchozím řešením, takže bez dalších cavyků napíšeme x=3+3*p+t*p2 a začneme hledat t z následující rovnice
3*(3+3*p+t*p2)-4 = k*p3
Opět si nejprve spočítáme, jaké konkrétní mocnině p to předchozí řešení odpovídá: zde nám vyjde 3*(3+3*p)-4 = 50 = 2*p2, a tím si hledanou rovnici trochu zjednodušíme na
2*p2 + 3*t*p2 = k*p3
Po zkrácení p2 vidíme, že 2+3*t musí být násobkem p, a zkusmým dosazením zjistíme, že t = 1 (pokud se vám to „zkrácení“ nepodaří, tak jste někde udělali chybku). Nakonec tedy dostaneme řešení x = 3+3p+1p2, což je bratru x = 43 a skutečně platí:
3*43 ≡ 4 (mod 53)
A takhle můžeme s mocninami p pokračovat až do nekonečna. Pro čtvrtou mocninu p budeme hledat řešení ve tvaru x = r + s*p + t*p2 + u*p3. První tři složky už máme, takže stačí najít u, a pokud si s tím chvilku pohrajete, zjistíte, že x = 3 + 3*p + 1*p2 + 3*p3. Tady už je výhodnější zapsat to souřadnicově: x = {3,3,1,3}. Pokud se budete vysloveně nudit, můžete pokračovat dál do vyšších a vyšších mocnin p a výsledné řešení bude v „souřadnicích“ vypadat takto (ty tři tečky znamenají, že proces pokračuje)
x = {3,3,1,3,1,3,1,3,1,3,...}
a tohle už je v podstatě naše první p-adické číslo.
Dříve, než se v tom začneme šťourat, vám ukážu, že úplně stejně to funguje i pro kvadratické (a vyšší) kongruence. Aby to ale nebylo tak fádní, vezmeme si p = 7 a budeme řešit problém
x2 ≡ 2 (mod 7)
Tady budeme pro pokusy a omyly potřebovat čísla 0 až 6 a v první linii se šťastným výhercem stává číslo x = 3. A teď se rozjedeme do vyšších mocnin p. Nejprve budeme řešit
x2 ≡ 2 (mod 72)
Stejně jako v lineárním případě hledáme x ve tvaru x = r+s*p = 3+s*p (první složka r musí opět řešit předchozí kongruenci, to si můžete ověřit podobně jako v lineárním případě). Musí tedy existovat celé číslo k, takže platí:
(3+s*p)2-2 = k*p2
roznásobíme naznačený čtverec a opět dosadíme konkrétní násobek p z předchozího řešení (32−2 = p)
32 + 6*s*p + s2p2 - 2 = p + 6*s*p + s2p2 = k*p2
díky násobku p můžeme poslední rovnici zase zkrátit a zjistíme, že 1+6s musí být dělitelné p (úvaha je stejná jako v předchozím případě - vše ostatní v rovnici je dělitelné p). A to je opět jednoduchá kongruence mod p, která má pokuso-omylové řešení s = 1. Takže dostaneme x = 3+1p, což je bratru x = 10. A ověříme si, že toto řešení opravdu splňuje
102 ≡ 2 (mod 72)
A pokračujeme dále. Řešení kongruence
x2 ≡ 2 (mod 73)
hledáme ve tvaru x = r+s*p+t*p2 s tím, že první dvě složky už známe a t dopočítáme z rovnice
(3+1*p+t*p2)2-2 = k*p3
tady už vám po umocnění vyjde kupa členů, ale pokud to opatrně roznásobíte a uvážíte, že z předchozího řešení máme (3+1*p)2-2 = 98 = 2p2, měli byste dostat t = 2, takže x = 3+1*p+2*p2, což je bratru x=108 a skutečně platí
1082 ≡ 2 (mod 73)
a takto můžeme mocniny p navyšovat až do nekonečna. Další „vypocená“ číslovka (pro p4) bude 6 a pomalu nám tu zraje další p-adické číslo (tentokrát 7-adické)
x = {3,1,2,6,...}
Kubické a vyšší kongruence se počítají stejně. První souřadnice se spočítá z kongruence mod p a další souřadnice se pak přidávají postupně. Trochu to připomíná skládání ruských matrjošek: začínáme u té nejmenší (mod p) a na ni pak „nabalujeme“ řešení ve vyšších mocninách (mod p2, p3 atd.). Samozřejmě bychom vyšší kongruence mohli spočítat ihned (počítač by všechny pokusy a omyly zvládl za zlomek sekundy) a výsledek pak vyjádřit v „souřadnicích“, ale tento postupný útok mi přijde pedagogicky vhodnější pro pochopení p-adických čísel. Ta totiž nejsou ničím jiným než nekonečnou verzí tohoto procesu (když si v hlavě to objevování vyšších a vyšších „souřadnic“ zacyklíte, dostanete v limitě p-adická čísla)
P-adická čísla
Reálná čísla si většinou představujeme jako body na číselné ose. Ale mohli bychom se na ně - alespoň na ta algebraická - dívat trochu abstraktněji. Jako na rovnice. Koneckonců reálné číslo 4/3 není ničím jiným než kořenem rovnice 3x = 4. Obdobně je číslo sqrt(2) pouhopouhým řešením rovnice x2 = 2.
P-adická čísla si můžeme představit podobně, s tím rozdílem, že místo rovnic budeme uvažovat kongruence, přesněji nekonečné kongruenční matrjošky z předchozí sekce. Takže matrjoška vzniklá z kongruence 3*x ≡ 4 (mod p) bude hrát roli „čísla“ 4/3 a v 5-adických číslech má vyjádření (jak jsme pracně spočítali výše):
P = {3,3,1,3,1,3,1,3,1,3,...} = 3 + 3p + 1p2 + 3p3 +...
Na druhé straně matrjošku vzniklou z kongruence x2 ≡ 2 (mod p) si můžeme představit jako odmocninu ze dvou, a v 7-adických číslech (opět na základě minulé sekce) má podobu
P = {3,1,2,6,1,...} = 3 + p + 2p2 + 6p3 +...
Každá taková nekonečná matrjoška je striktně vzato nekonečnou mocninnou řadou v proměnné p. Úplně všechny řady si ale takto nenabrnkáme (stejně jako ne všechna reálná čísla jsou řešením algebraických rovnic). Proto se ve výsledné definici od kongruenčních matrjošek odpoutáme a vezmeme na milost všechny řady v proměnné p, ať už vzniknou jakýmkoliv způsobem.
P-adická čísla jsou tedy obecně nekonečné formální řady v prvočíselné proměnné p, jejíž koeficienty leží v rozmezí 0...p-1 (to slůvko „formální“ znamená, že se na p nedíváme jako na konkrétní hodnotu, ale jako na symbol či parametr, který dává celé řadě určitou strukturu). Typické 3-adické číslo tedy vypadá takto:
P = {2,1,0,1,...} = 2 + p + p3 + ...
Je to v podstatě nekonečná posloupnost p-adických koeficientů. A s tím, zda ty koeficienty pochází z nějaké kongruence, si nebudeme lámat hlavu. Když vám dám reálné číslo, řekněme x = 3.89105, tak s ním prostě počítáte a také se nepídíte, zda a jakou rovnici řeší (zde by to bylo 257x = 1000). Nicméně pro hlubší pochopení p-adických čísel je dobré o těch kongruencích vědět (stejně jako se u reálných čísel vyplatí znát vlastnosti zlomků - a lineárních celočíselných rovnic, které reprezentují).
Otec p-adických čísel, výše zmíněný Kurt Hensel, byl při jejich konstrukci veden snahou zavést některé metody z teorie mocninných řad do teorie čísel.
Řady, které jsme zatím viděli, odpovídají celým p-adickým číslům (ta tedy poznáte tak, že začínají nultou mocninou p). Abychom dostali širší p-adická čísla, tak budeme uvažovat i podíly takovýchto řad R = P/Q. To už je poměrně technická otázka, kterou nechci moc rozvíjet, a tak jen poznamenám, že pokud číslo Q ve jmenovateli začíná n-tou mocninou p (což je z pohledu podílu nejhorší varianta), tak příslušné „racionální“ p-adické číslo bude začínat -n mocninou. Tím pádem nejobecnější p-adické číslo může vypadat třeba takto:
R = 4/p2 + 1/p + 2 + 6p + 3p2 + ...
P-adická čísla tedy nejsou rozšířením reálných čísel (jako třeba čísla komplexní), ale jsou v jistém smyslu jejich opakem. Když si reálné číslo zapíšete v tradičním dekadickém rozvoji, tak dostanete konečný počet kladných mocnin základu a (potenciálně) nekonečný počet záporných mocnin - s příslušnými koeficienty. U p-adických čísel je tomu přesně naopak. Ty mají konečný počet (klidně i nulový) záporných mocnin péčka a (potenciálně) nekonečný počet kladných. Kdybych se pokusil ta p-adická čísla zapsat podobně jako zapisujeme desetinná (tedy zprava doleva a s desetinnou tečkou, tam kde končí záporné mocniny), tak bych pro výše uvedené číslo R dostal:
R = ...362.14
(tři tečky znamenají, že kladné mocniny pokračují dál; u reálných čísel jsou ty tři tečky pochopitelně na druhé straně 3.141... Jo, a bacha - čísla binární nebo hexadecimální, která možná znáte z počítačových aplikací, jsou stále čísla reálná, jen jsou vyjádřená v jiném formátu. Tak jako u p-adických čísel můžeme měnit to péčko, u reálných čísel můžeme měnit příslušný základ).
P-adická čísla nežijí na reálné ose, ani v komplexní rovině, ale nachází se v jakémsi abstraktním algebraickém prostoru. To, že ta čísla nejsou „hmatatelná“, vidíte i z toho, že když si je mechanicky vyčíslíte pro příslušné p, tak obvykle dostanete nekonečno (odpovídají tedy zhruba divergentním řadám). V jistém smyslu na ně můžeme pohlížet jako na náš pokus nekonečno nějak „zkrotit“. Nasadit mu algebraické jho.
P-adická čísla nemají záporné ekvivalenty. I tradičně záporná čísla se vyjádří pomocí kladných řad. Např. pro 5-adická čísla platí, že
-1 = {4,4,4,...} = 4 + 4p + 4p2 +...
To uvidíte nejlépe, když k oběma stranám přičtete 1. Nalevo se jedničky vyruší a dostanete 0. Na druhé straně též, ale musíte si to rozmyslet. Nejprve sečtete 1 + 4 = p (čísla jsou 5-adická, takže p = 5). Péčko přehodíte vidlema doprava a dostanete p + 4p = 5p = p2, opět přehodíte doprava a dostanete p2 + 4p2 = p3. A tak dále. I napravo se tedy vše vyruší, ale jiným způsobem - tím, že to „odházíme“ vidlema do nekonečna (jehož tlama je vpravo doširoka otevřená).
Další bizarní vlastností p-adických čísel je, že se nedají uspořádat v klasickém smyslu. Pro dvě různá reálná čísla x a y musí vždy platit, že buď x<y, nebo y<x. Jedna z možností musí nastat (protože reálná čísla uspořádaná jsou). Pro p-adická taková dichotomie neplatí. Jak byste taky rozhodli, které z následujících 5-adických (celých) čísel je větší:
P = {1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...}
Q = {2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,...}
(a nezapomeňte, že směrem doprava mocniny vzrůstají - u reálných směrem doprava klesají a proto ty další mocniny už pro výsledné uspořádání nehrají takovou roli)
Jinými slovy, tato čísla protiřečí prakticky každému kousku intuice, který jsme si ve škole o číslech vybudovali. Přesto existují, fungují a dokonce představují reálnou alternativu reálných čísel (jak uvidíme v příští sekci). Kdykoliv se s nimi ale setkám, vzpomenu si na starou historku ze života amerického matematika a fyzika Johna von Neumanna. Když si mu jednou kolega postěžoval na jakousi neprůhlednou matematickou metodu, von Neumann mu suše odpověděl: „Mladý muži, v matematice není účelem věci pochopit, ale zvyknout si na ně.“
Ultrametrika
Protože základem každé solidní analýzy je pojem „blízkosti" (ze kterého je například odvozena limita), musíme si říci, jak budeme poměřovat vzdálenosti mezi p-adickými čísly. To, že je nelze uspořádat, neznamená, že nemůžeme spočítat, jak jsou od sebe daleko.
V matematice se vzdálenosti mezi čísly (i obecnějšími objekty) „měří“ pomocí funkce dvou proměnných, které říkáme metrika a obvykle ji značíme d(x,y). Na vstupu vhodíte dovnitř dva objekty, x a y (obvykle čísla nebo vektory) a na výstupu vám ta funkce vyhodí jejich „vzdálenost“. Aby mohla tuto funkci plnit, musí metrika pro každé x a y splňovat následující podmínky:
(1) d(x,y) > 0
(2) d(x,y)=0 právě tehdy když x = y
(3) d(x,y) = d(y,x)
(4) d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) pro každé z
První tři podmínky jsou celkem jasné - říkají nám, že vzdálenost musí být nezáporná, vzdálenost mezi stejnými objekty je nula (a v žádném jiném případě nula není) a že vzdálenost je symetrická - tedy z Hradce do Pardubic je to stejně daleko jako z Pardubic do Hradce.
Čtvrtá podmínka je nejzajímavější a říká se jí trojúhelníková nerovnost, protože vyjadřuje známou skutečnost, že velikost každé strany trojúhelníka je menší než součet velikostí zbývajících stran. Anebo polopatičtěji: přímá vzdálenost z Hradce (x) do Pardubic (y) musí být kratší, než když to vezmete přes Chlumec (z).
Někdy se podaří najít funkci, která dokonce splňuje silnější podmínku
(4') d(x,y) <= max(d(x,z),d(z,y)) pro každé z
V takovém případě se této funkci říká ultrametrika. Metriky používané v běžné praxi tuto silnější vlastnost nemají (ona je trochu patologická, jak za chvíli uvidíme). V ultrametrickém světě by vzdálenost z Hradce do Pardubic byla menší než maximum vzdáleností Hradec-Čeperka a Pardubice-Čeperka (obec zhruba na půli cesty). Vidíte, že tato malinká změna v definici trojúhelníkové nerovnosti má poměrně absurdní důsledky.
Pro reálná i komplexní čísla se metrika celkem lehce odvodí z absolutní hodnoty:
d(x,y) = | x-y |
Můžete si ověřit, že tato funkce splňuje podmínky (1-4), nikoliv však (4'), a navíc odpovídá našemu intuitivnímu (eukleidovskému) chápání vzdáleností jak na reálné přímce, tak v komplexní rovině. Tento typ metriky se dá zavést i pro vektory, ale pak musíte absolutní hodnotu vyměnit za normu.
Pro p-adická čísla na to musíme jinak. Intuitivně vzato, dvě p-adická čísla by měla být „blízko sebe“, pokud ty dva procesy generující „kongruenční matrjošky", běží dlouho ruku v ruce. Tedy pokud generují podobnou sekvenci „souřadnic“, alespoň ze začátku. Jako příklad si vezmeme 7-adická (celá) čísla P a Q definovaná takto:
P = {3,1,1,2,6,4,3,...}
Q = {3,1,1,2,6,1,5,...}
Tyto dvě matrjošky se „rozjedou“ teprve na 6. pozici, takže čísla, která reprezentují, bychom měli považovat za blízká. A čím více souřadnic se nám podaří „srovnat“, tím blíž by si čísla měla být. Když si uvědomíte, že koeficientíky reprezentují mocniny p, můžeme zhruba říci, že p-adická čísla jsou si tím blíž, čím vyšší mocninou p jejich rozdíl začíná.
I toto se dá technicky ošetřit pomocí absolutní hodnoty, ale musíme ji definovat „netradičně“. Pro p-adické číslo P, jehož rozvoj začíná n-tou mocninou p, ji definujeme jako
|| P || = 1/p^n
(pro odlišení od standardní absolutní hodnoty budu používat dvojčáru)
Takže např. 5-adické číslo Č = 2p + 3p2 + p3 +... bude mít absolutní hodnotu || Č || = 1/5. Naopak 7-adické číslo FŇ = 4/p+5+2p++p+... bude poměrně velké: || FŇ || = 7 (rozvoj začíná minus první mocninou). Obecněji číslo, jehož „souřadnice“ mají na začátku hodně nul (a tedy začínají vysokou mocninou p), bude mít malou absolutní hodnotu. Pak bude vzdálenost výše zmíněných čísel P a Q skutečně malá (v p-adickém smyslu), protože jejich rozdíl obsahuje hodně nul na začátku (prvních 5 souřadnic se vynuluje).
Opět si všimněte, že p-adická čísla jsou v jistém smyslu opakem čísel reálných. Dvě reálná čísla jsou si blízko, pokud se, zhruba řečeno, liší o malou (zápornou) mocninu základu. Dvě p-adická čísla jsou si blízko, pokud se liší o velkou (kladnou) mocninu základu.
Například desetinná čísla 6.767 a 6.768 jsou si blízko, protože se liší o tisícinu (minus třetí mocninu základu 10). Naopak 7-adická celá čísla
P = {2,5,5,3,8,...} a Q = {2,5,5,4,1,...}
jsou si blízko, protože se (při přepočtu na mocniny 7) liší o 73. Ta „netradiční“ absolutní hodnota jejich rozdílu tedy bude || P-Q || = 1/73. Jakmile máme definovanou absolutní hodnotu, definujeme odpovídající metriku opět výrazem
d(P,Q) = || P-Q ||
Nejdůležitější vlastností této metriky je, že splňuje podmínku (4') - to znamená, že p-adická metrika je ultrametrikou (!). To se dá nejlépe nahlédnout přes absolutní hodnotu, a to tak že si pečlivě rozmyslíte případy, kdy P i Q začínají (resp. nezačínají) stejnou mocninou (podrobnosti zde nebo zde na str. 5).
Tato „netradiční“ absolutní hodnota se dá definovat i na (tradičních) racionálních číslech, a to více méně stejným způsobem. Nejprve z čitatele i jmenovatele vytkneme p (případně zkrátíme) a racionální číslo zapíšeme ve tvaru
q = p^n (x/y)
(kde celá čísla x a y už neobsahují p)
pro něj pak definujeme „netradiční“ absolutní hodnotu jako
|| q || = 1/p^n
To znamená, že racionální číslo bude „malé“ (ve smyslu této absolutní hodnoty), pokud jeho čitatel bude obsahovat vysokou mocninu p a naopak bude „velké“, pokud vysokou mocninu p nalezneme v jeho jmenovateli. Takže třeba v 5-adické absolutní hodnotě bude zlomek q = 75/2 malý (neboť ||q|| = 1/25), zatímco zlomek q = 3/5 bude poměrně velký (protože ||q|| = 5). Oproti tomu zlomky 17/99 nebo 3/1 jsou v 5-adických číslech tak akorát (jejich absolutní hodnota je 1). Žádná sranda, co? Pár dalších příkladů najdete zde.
Touhle habaďůrou jsem vás protáhl hlavně proto, abych vám mohl prozradit, co ta Ostrovského věta, zmíněná v úvodu, vlastně konkrétně říká. Podle Ostrovského se na racionálních číslech dá absolutní hodnota definovat pouze dvěma způsoby. Klasickou absolutní hodnotou | q | a „netradiční“ absolutní hodnotou || q ||. Pokud při zúplnění použijeme tu první, dostaneme reálná čísla, pokud použijeme tu druhou, dostaneme p-adická čísla. Žádná jiná netriviální možnost neexistuje.
Literární shrnutí: „Kdeže loňské sněhy jsou,“ přemítal Krvavý Džejk s pohledem pevně upřeným do světelné vánice vířící po stříbřité hladině prudké horské říčky. Na zaobleném kameni za ním seděl jeho parťák Bill Rychlopalka a láskyplně čistil svůj ohmataný kolt značky Smith & Wesson. Obvykle jej vytasil s rychlostí neurotického kolibříka a každého zlosyna v okruhu padesáti stop provrtal bez výstrahy množstvím olova vysoce překračujícím doporučenou denní dávku. Jeho zpocený zátylek signalizoval pozdní odpoledne. Na protějším břehu klečela robustní pradlena a malým dřevěným pádlem mlátila do jakýchsi špinavých hadrů s takovou vervou, že by se za ni nemuseli stydět ani protagonisté tradiční páteční rvačky v saloonu U bídného kojota. „Ta do těch podvlíkaček buší, jako by z nich chtěla vytřískat, kudy se jede ke zlatému pokladu,“ odtušil pobaveně Džejk. „Fortelem a razancí mi připomíná moji bejvalou,“ doplnil Bill, „to byla pěkná semetrika.“ Džejk se hořce zasmál, vyplivnul hrudku tabáku a zkušeně kontroval: „To nic není, to moje první žena, to byla učiněná ultrametrika.“
Najdeme v mikrosvětě nearchimedovskou geometrii?
(pozor - toto je něco úplně jiného než neeukleidovská geometrie)
Reálná čísla mají jednu vlastnost, která se na první pohled jeví tak samozřejmou, že se zdá být pošetilé jí vůbec dávat jméno. O číselném systému říkáme, že je archimedovský, pokud se libovolně malé kladné číslo dá zvětšit nad libovolnou mez pronásobením vhodným přirozeným číslem. Přesněji:
kdykoliv si v tom systému vezmeme dvě čísla 0 < x < y,
tak nalezneme přirozené číslo n tak, že nx > y
Můžeme si to představit i geometricky: libovolně malá úsečka délky x nakonec přesáhne libovolně velkou délku y, pokud ji naneseme dostatečně mnohokrát. Představte si hlemýždě, který právě vyrazil z Hradce do Pardubic a za první den urazil pouze 70 cm. Sedí chudák u patníku a zoufá si. Ale díky archimedovské vlastnosti reálných čísel mu matematika zaručuje, že dříve nebo později (no, spíš asi později) se do Pardubic skutečně dostane.
Tohle je něco tak triviálního, že si normální člověk musí poklepat na čelo, čím se to ti matematici zase za státní peníze zabývají. Ale ukazuje se, že ne každý číselný systém tuto vlastnost má. A speciálně ji nemají ty, kde se vzdálenosti měří ultrametrikou (jako např. p-adická čísla).
Podívejme se teď na trojúhelníkovou nerovnost (4) očima absolutní hodnoty, která příslušnou (ultra)metriku generuje. Pro libovolné prvky x,y našeho systému musí absolutní hodnota splňovat toto:
(4) | x+y | <= |x| + |y| (metrika)
(4') || x+y || <= max {|| x ||, || y || } (ultrametrika)
Z toho je patrné, že ultrametrika znemožňuje objektům, aby rychle rostly - tedy aby se dostatečně rychle zvětšovala jejich absolutní hodnota. Položme si y = x a hned ten problém uvidíme:
|| x+x || <= || x ||
To, že ultrametrický svět není archimedovský, znamená, že malé x v definici můžete násobit přirozenými čísly až do alelujá a pořád bude menší než y. Pokud se s tím chcete nějak vnitřně skamarádit, představte si y jako nějakou formu nekonečna anebo x jako nějakou formu infinitesimálně malého čísla (podrobnosti zde anebo zde).
Je jasné, že geometrie v prostorech, kde se vzdálenosti měří ultrametrikou, musí být zatraceně podivná. Jako příklad vám předložím tři tvrzení, která samozřejmě mimo ultrametrické prostory neplatí.
(1) všechny trojúhelníky jsou rovnoramenné
(2) všechny vnitřní body každé koule jsou jejím středem
(3) dvě koule, které se protínají, už musejí být totožné
Podrobnosti a náznak důkazu najdete zde.
Kromě důkazu Fermatovy věty (viz zde, str. 9 a dál), zmíněné v úvodu nemají p-adická čísla v matematice příliš mnoho aplikací (o praktickém životě ani nemluvě). Z pohledu fyziky mají tato čísla jednu velkou nevýhodu. To péčko. Proč by měl Stvořitel preferovat zrovna 17-adický nebo 59-adický pohled na svět? Aby si pámbů nemusel házet kostkou, tak mu matematici vymysleli tzv. „adélky“ (adeles), což jsou v podstatě nekonečné vektory, v jejichž složkách se vystřídají p-adická čísla pro všechny prvočíselné hodnoty p (podrobnosti najdete ke konci tohoto zajímavého článku).
Zda je náš svět na úrovni Planckovy délky archimedovský (tedy reálný), nebo nearchimedovský (tedy p-adický), je v tomto okamžiku vysoce spekulativní otázka. Naše experimentální možnosti zatím tak hluboko do nitra prostoru nedosáhnou. A je docela možné, ba pravděpodobné, že p-adická čísla zůstanou slepou uličkou v historii vědy (nebo v lepším případě extravagantní hračkou v rukou číselných teoretiků). Ale jak říká jeden můj kamarád: pokud nějaká struktura funguje, příroda by byla hloupá, kdyby ji nepoužila. A je-li pytel kvantové mechaniky šílený, proč na něj nedat šílenou záplatu?
Chcete-li si zaspekulovat, můžete pokračovat v krasojízdě zde (ve formátu pdf):
p-adic mathematical physics
(the first 30 years)
Non Archimedean geometry and
Physics on Adelic spaces
Is spacetime
p-adic?
Number
theory as the Ultimate Physical Theory
p-adic
physics
Mimochodem, od dob Alberta Einsteina víme, že makrosvět je zakřivený, a tudíž v něm vládne neeukleidovská geometrie. Bylo by krásnou ironií, kdyby se ukázalo, že v mikrosvětě kraluje geometrie nearchimedovská. Bohové na Olympu by se určitě smáli, až by se za svá posvátná břicha popadali.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru
iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora.
Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
