Pro matematiky má genderová vyváženost jednu nepopiratelnou výhodu. Zatímco v 19. a 20. století byli naši předchůdci nuceni studovat různé modely neeukleidovských geometrií, nám je dopřáno studovat modelky. Dobře nám tak.
Abyste mohli proniknout do tajů neeukleidovských geometrií, nemusíte být nutně znalcem zakřivených ploch či exotických metrik. Ani nemusíte umět počítat geodetiky pomocí diferenciálních rovnic. Stačí najít vhodnou množinu geometrických objektů, které splňují první čtyři Eukleidovy axiomy, ale ne už ten pátý. Takovým množinám říkáme modely.
Co to obnáší? Zhruba řečeno: zadefinujete si, co jsou body a co přímky (či úsečky), a začnete zkoumat, zda mají nějaké zajímavé vlastnosti (v první řadě samozřejmě zda splňují postuláty kolegy Eukleida). Místo abyste pracně koumali, které křivky jsou geodetikami (přímkami), tak si ty geodetiky prostě vybájíte. A při té definici se vůbec nemusíte omezovat na skutečné body a úsečky. Vaší fantazii se meze nekladou. Jen musíte počítat s tím, že pokud se opravdu odvážete, tak vaše fantasmagorické geometrie budou bez výraznějšího praktického užitku.
Mohli bychom si například vytvořit hospodský model geometrie, kdy body našeho modelu budou běžné body roviny, ale úsečkami mezi dvěma body budou – dle královského dekretu – vlnivé sinusoidy zhruba opisující dráhu, po níž si to násoskové z hospody H šněrují k domovu D. Z experimentálních dat a svědeckých výpovědí vyplývá, že takové „geodetiky“ jsou nejkratší spojnice bodů D a H. I bez hlubšího matematického vzdělání vidíme, že tento model příliš zajímavý nebude, protože nesplňuje hned první Eukleidův axiom – dvěma body by měla být jednoznačně určena přímka. Hospodští štamgasti si ale takových geodetik mezi body H a D dokáží nalézt hned několik (přesný počet je obvykle přímo úměrný obsahu alkoholu v krvi). Taková geometrie nám tedy ve vědeckém světě moc velké renomé neudělá. Takže zkusíme něco jiného.
Za body si tentokrát vezmeme běžné body uvnitř jednotkového kruhu, zatímco za přímky prohlásíme tětivy hraniční kružnice (bez koncových bodů, protože jsme naši geometrii omezili pouze na vnitřek kruhu). Tady už problém s prvním axiomem mít nebudeme, protože každými dvěma body uvnitř našeho kruhu prochází právě jedna tětiva (kterou jsme právě královským dekretem prohlásili za přímku). Tato geometrie skutečně splňuje první čtyři Eukleidovy postuláty, takže je to smysluplná geometrie, i když ten pátý – každým bodem P mimo přímku p lze vést právě jednu rovnoběžku – evidentně nesplňuje. Rychlý náčrt vám ukáže, že takových „rovnoběžek“ existuje nekonečně mnoho. Jedná se tedy o model hyperbolické geometrie a říkáme mu Beltramiho-Kleinův model.
Tímto způsobem v podstatě postupovali zakladatelé neeukleidovských geometrií v 19. století. Pokoušeli se najít vnitřně konzistentní model bez pátého axiomu. Teorie zakřivených ploch, která umožňuje tyto geometrie nejen studovat, ale i klasifikovat, byla rozvinuta teprve dodatečně.
Nespornou výhodou takových modelů je, že nám umožňují pracovat s důvěrně známými geometrickými objekty. A to zejména v hyperbolickém případě, kde nemáme pro zkoumání příslušně zakřivených ploch dostatek osobních zkušeností, jako je tomu v případě sféry či roviny. Ruku na srdce, komu by se chtělo studovat pseudosféru, která má sice konstantní zápornou Gaussovu křivost, takže pro studium hyperbolických geometrií je jako stvořená, ale intuitivním geometrickým výpočtům či úvahám se poměrně srdnatě brání. Navíc se dle Hilbertovy věty ani nedá hladce vnořit do 3D prostoru, takže podél jejího okraje (lemu toho protáhlého dvouklobouku) by plošníci se svými geodetikami narazili na nespojitost. A tato „hrana“ se bohužel nedá „zaoblit“ (aniž bychom ustoupili z požadavku konstantní gaussovské křivosti).
Proto se dnes se vrátíme z prostoročasového světa Einsteinovy gravitace zpátky do světa středoškolské 2D geometrie a na pár modelů se podíváme, abychom si mohli vytvořit jednodušší obrázek toho, jak vlastně ty neeukleidovské potvůrky fungují. Začneme přirozenými modely, které nám prostřednictvím projekcí ukazují, jakým způsobem se geometrie zakřivených ploch dá obtisknout do běžné (či komplexní) roviny.
Projekce sféry
Přirozeným modelem pro sférickou (či obecněji eliptickou) geometrii je pochopitelně sféra, která má konstantní Gaussovu křivost k = 1/R2 a poměrně srozumitelné sférické souřadnice. Její geodetiky – jak jsme již jednou viděli – se dají odvodit bez náročnějších výpočtů. Pro každé dva body P a Q prostě sféru proseknete rovinou OPQ (kde O je střed sféry) a hlavní kružnice, kterou průsečíkem získáte, bude geodetikou (nejkratší spojnicí) mezi oběma body.
Proto není důvod snažit se pro tuto geometrii vymýšlet rovinné modely. Přesto vám jeden ukážu, protože nám umožní seznámit se s poměrně důležitým geometrickým zobrazením: říkáme mu stereografická projekce.
Představme si jednotkovou sféru posazenou do běžné 2D eukleidovské roviny r tak, že její střed splývá s počátkem O = (0,0). V tomto kontextu se jí říká Riemannova sféra. Každý její bod S můžeme spojit běžnou přímkou p se severním pólem N a bod S', kde tato přímka protne rovinu r, označíme za obraz bodu S (viz obrázek vpravo).
Poměrně lehce je vidět, že toto zobrazení je vzájemně jednoznačné, to znamená že dokáže přesně spárovat body v rovině s body na sféře. Dva různé body S a T na sféře budou mít dva různé obrazy S' a T' v rovině a naopak. Severní polokoule se zobrazí na vnějšek jednotkového kruhu, jižní polokoule na vnitřek.
Jediný problém představuje severní pól sám o sobě, protože v jeho případě se definiční přímka p nedá zkonstruovat (body N a S splývají). Nicméně když se s bodem S začnete přibližovat k severnímu pólu N, zjistíte, že obraz S' se vytrvale vzdaluje směrem „k horizontu“. Proto je obrazem severního pólu nekonečno (tj. N' = ∞). Toto je 3D obdoba konstrukce, kterou jsme viděli v jednom raném Matykání. Velmi často se zde rovina r ztotožní s komplexními čísly, takže to ∞ pak odpovídá komplexní verzi.
To je trochu neintuitivní, protože básnicky vzato si každý bod na horizontu představujeme jako svébytné nekonečno, určené daným směrem (jako tomu bylo v případě projektivní geometrie), ale v komplexních číslech se na všechna ta nekonečna podél horizontu díváme jako na nedělitelnou „slitou“ entitu. To je vidět z toho, že ať s bodem S' putujeme k nekonečnu po kterékoliv přímce (v rovině r), odpovídající bod S na sféře vždy doputuje k jednomu a tomu samému severnímu pólu. Proto se taky v učebnicích dočtete, že stereografické zobrazení vede z Riemannovy sféry do rozšířené komplexní roviny (rozuměj rozšířené o komplexní nekonečno).
Můžete se na to dívat také tak, že v limitním případě, kdy bod S splyne s bodem N, bude ta definiční přímka p rovnoběžná s rovinou r, takže ji protne „v nekonečnu“. Kromě té vzájemné jednoznačnosti má stereografické zobrazení také několik důležitých vlastností, které už nejsou vidět na první pohled.
Za prvé zachovává úhly, což znamená, že když si na sféře nakreslíte dvě křivky a pak je hezky bod po bodu zobrazíte do roviny, tak ty obrazy v rovině r se budou protínat v přesně stejném úhlu jako jejich originály na sféře (takovým zobrazením říkáme konformní a v geometrii hrají pochopitelně důležitou roli).
Za druhé zachovává kružnice. Kdykoliv si na sféře nakreslíte kružnici (ať už je hlavní nebo ne) a pak ji bod po bodu zobrazíte, tak její obraz v rovině r bude opět kružnice. A tady budeme po zbytek této série používat konvenci, že přímka je v podstatě kružnice s nekonečným poloměrem. To nám umožní se na problém dívat kompaktněji a neutopíme se ve výjimkách. Schválně si rozmyslete, které kružnice na sféře se zobrazí na přímky (ty které prochází bodem N).
Díky druhé vlastnosti si můžeme v rovině vytvořit celkem jednoduchý model sférické geometrie.
Vezměme si všechny sférické geodetiky (tj. hlavní kružnice) procházející bodem S (ty budou současně procházet i protipólem T). Jejich obrazy v rovině r budou kružnice procházející body S' a T' (a to znamená, že jejich středy budou ležet na ose úsečky S' T'). Tyto kružnice vyhlásíme královským dekretem za „přímky“ (protože jsou obrazy sférických „přímek“) a rázem máme rovinný model sférické geometrie. Můžete si rozmyslet, že z bodu S se dá vyrazit v každém směru podél jedné takové „přímky“.
Tyto geodetiky mimochodem přesně odpovídají modelu, který si vytvoříte pomocí sférické metriky v komplexní rovině. Ta metrika v podstatě „zkracuje“ vzdálenosti pro vzdálené body roviny tak, aby měření vzdáleností mezi body S' a T' odpovídalo běžným sférickým vzdálenostem mezi S a T. Proto musíte to, co naměříte eukleidovsky mezi S' a T', vydělit určitým faktorem z toho metrického vzorečku.
Komplexní čísla nám také usnadňují některé výpočty: pokud si obrazy protipólů na sféře (tedy body S' a T') označíte pomocí komplexních čísel z a w, pak platí, že zw̅ = -1 (kde w̅ je číslo komplexně sdružené). To znamená, že v komplexní rovině si sférickou geometrii nafingujete tak, že za přímky procházející bodem w prohlásíte všechny kružnice procházející body w a -1/w̅ (tj. S' a T' v předchozím značení). Ty přesně odpovídají sférickým hlavním kružnicím procházejícím body S a T.
Tento model nám sice umožní studovat sférickou geometrii v komplexní rovině, ale počítat s ním není žádná legrace. Na sféře je třeba hned vidět, že daná „přímka“ (tedy hlavní kružnice) obsahuje s každým bodem B i jeho protipól, tj. protilehlý bod B'. V rovinném modelu, který jsme právě sestrojili, už to tak jasné není (protipóly odpovídají těm záporně reciprokým bodům w a z = -1/w̅).
Vezměme si třeba kružnici procházející obrazy dvou protilehlých modrých bodů: w a -1/w̅. Teď ale musíme ukázat, že pokud si na té červené kružnici (což je obraz nějaké hlavní kružnice ze sféry) zvolíme jiný zelený bod W, tak i bod -1/W̅ (což je v tomto modelu ekvivalent protipólu) na ní bude ležet. A to není úplně triviální. I proto většinu sférických výpočtů realizujeme přímo na sféře a tento komplexní model si ponecháváme pouze jako nástroj na trestání učitele učitelem…
Projekce hyperboloidu
Jak jsem již předeslal, pseudosféra (s konstantní Gaussovou křivostí
-1/R2) není úplně ideálním modelem (např. ne všechny geodetiky
se dají libovolně prodloužit, protože narazí na „hranu“ pseudosféry),
takže za nejpřirozenější ztělesnění hyperbolické geometrie lze
považovat povrch dvoulistého hyperboloidu, tedy plochu určenou rovnicí
x2
+ y2 - z2 = -1 (viz obrázek a).
Každý bod této plochy bude reprezentovat bod naší geometrie a „přímky“ si nabrnkáme (analogicky se sférou) tak, že budeme tuto plochu protínat s rovinami procházejícími počátkem O (jednu vidíme v modrém na obrázku b).
Pokud chceme najít nejkratší spojnici bodů P a Q, protneme hyperboloid s rovinou OPQ a vzniklá křivka (tedy jakýsi hyperbolický ekvivalent hlavní kružnice) bude geodetikou spojující body P a Q.
To, že geometrie hyperboloidu je trochu „ujetá“, je vidět i z tvaru geodetik. Pokud si zvolíme dva body P a Q zhruba ve stejné výšce z (obrázek b), tak nás geodetika (průsečík modré roviny a žlutého hyperboloidu) povede nejprve nahoru po ploše, tam se obrátí a hurá dolů. Přirozená otázka je, zda by nebylo kratší vydat se „po žluté vrstevnici“. Eukleidovsky ano, ale lorentzovsky ne.
V tomto případě je nutno hyperboloid poměřovat ne metrikou vzniklou z běžného skalárního součinu, ale z jeho „relativistické“ (či chcete-li lorentzovské) varianty:
u.v = u1 * v1 + u2 * v2 - u3 * v3
Jak úhel, tak norma (délka vektoru) určená tímto skalárním součinem mají podstatně jiné vlastnosti než úhly a délky zprostředkované tím obvyklým. Vzhledem k ní je ten průsečík modré a žluté plochy skutečně nejkratší spojnicí bodů P a Q, tj. geodetikou (viz též hnědá křivka na obr. 9 zde – mimochodem, ten článek doporučuji jako dobré opáčko neeukleidovské geometrie a speciálně zájemci o speciální relativitu by se s tímto modelem měli dobře seznámit).
Pozorný čtenář si teď asi mne bradu: jak ale může ta žlutá plocha reprezentovat hyperbolickou geometrii, když má evidentně kladnou Gaussovu křivost (obě hlavní křivosti mají stejné znaménko)? Schválně se na obrázku (a) postavte do vrcholu hyperboloidu a uvidíte, že kamkoliv vaše oko pohlédne, plocha se křiví směrem „od vás“ (skoro byste na první pohled mohli propadnout dojmu, že stojíte na sféře).
Tento zdánlivý paradox je způsoben tím, že i křivost je závislá na metrice a pokud budeme vzdálenosti poměřovat lorentzovsky, dostaneme pro žlutou plochu zápornou křivost.
List hyperboloidu má sice spoustu styčných bodů se sférou, ale současně nás šálí svým „podivným“ skalárním součinem, takže si ho zkusíme – stejně jako v předchozím případě – promítnout do komplexní roviny.
Promítací bod N tentokrát posadíme do bodu (0,0,-1), kde mimochodem začíná druhý list našeho hyperboloidu (takže je to v jistém smyslu jeho jižní pól). Zbytek proběhne analogicky se sférou (viz obrázek). Každý bod S na hyperboloidu spojíme v bodem N běžnou přímkou a její průsečík s rovinou xy prohlásíme za obraz bodu S (označen S'). A máme v podstatě hotovo.
Jen si musíme uvědomit, že na rozdíl od sféry, jejíž body se zobrazí do celé roviny xy (tj. každé komplexní číslo odpovídá nějakému bodu sféry), zde se celý vrchní list hyperboloidu zobrazí pouze do vnitřku jednotkové kružnice K (na předchozím obrázku modře). To je vidět z toho, že dvoulistý hyperboloid se asymptoticky blíží kuželu definovanému rovnicí x2 + y2 - z2 = 0 (viz tento obrázek), jehož stěny svírají s osou z úhel 45°. Jakýkoliv paprsek z bodu N, jehož úhel s osou z bude větší, nemá šanci hyperboloid protnout (pouze paprsky procházející jednotkovým kruhem tu šanci mají).
Když ty podivné „relativistické“ geodetiky zobrazíme z hyperboloidu do našeho útulného jednotkového kruhu, zjistíme, že odpovídají kruhovým obloukům, které jsou na jednotkovou kružnici K kolmé (viz zelené geodetiky vpravo, červený bod je středem hraniční kružnice).
To není úplně jednoduché ukázat, ale vizuálně si to můžete prohlédnout zde na druhém obrázku shora (na tom prvním je vidět, že i Beltramiho-Kleinův model dostaneme jako projekci hyperboloidu, ale tam musíme projekční bod N umístit do počátku a jednotkový kruh K posunout nahoru do roviny z = 1).
Rozmyslete si, že každými dvěma body (modře) prochází právě jedna geodetika a každé dvě geodetiky se protínají právě v jednom bodě.
Takže sečteno a podtrženo, pro studium hyperbolické geometrie se vůbec nemusíte trápit s nějakými hyperboloidy a lorentzovskými metrikami, ale můžete si ji v pohodě studovat uprostřed běžného jednotkového kruhu. Jeho vnitřní body se stanou body vaší nové geometrie a „přímky“ budou v tomto modelu prostě kruhové oblouky protínající hraniční kružnici K v úhlu 90° (ten úhel se samozřejmě měří jako úhel příslušných tečen). V to započítáme jako speciální případ i přímky procházející počátkem (i ty jsou kolmé k jednotkové kružnici a můžeme na ně opět pohlížet jako na kružnice s nekonečným poloměrem).
Poincarého kruhový model odpovídá tomu minule uvažovanému modelu, který jsme si vytvořili pomocí hyperbolické metriky v komplexní rovině.
K bodům na jednotkové kružnici se zevnitř nikdy nedostaneme, protože pohyb bodu S' k směrem k ní odpovídá pohybu bodu S po hyperboloidu nahoru (a tam je spousta místa). Metricky vzato: čím jsme blíže kružnici K, tím větší vzdálenosti z naměřených rozdílů souřadnic spočítáme. Proto těm hraničním bodům říkáme „ideální body“ (leží nekonečně daleko – viz též pojem „ideální manžel“).
Na dalším obrázku vpravo máme hyperbolický trojúhelník ABO. Tedy obrazec ohraničený třemi „přímkami“ – třemi kruhovými oblouky kolmými na K (z toho dva jsou současně běžnými přímkami). Zatím neumíme přesně sečíst jeho vnitřní úhly (na to se podíváme přespříště), ale už jen z toho obrázku je celkem patrné, že jejich součet bude méně než 180°, protože je můžeme snadno vizuálně porovnat s úhly příslušného eukleidovského trojúhelníku ABO. Pokud se s těmito body budete blížit hranici, součet úhlů se bude limitně blížit nule (takový ideální trojúhelník pak bude mít všechny úhly nulové).
Můžete si sami zkusit odvodit, že pro danou „přímku“ (tedy kruhový oblouk kolmý na hranici K našeho modelu) a bod P mimo ni existuje nekonečně mnoho přímek (opět kolmých kruhových oblouků) procházejících bodem P a neprotínajících přímku p (hezkou ilustraci naleznete zde – na počátku hyperbolické sekce). A to znamená, že takto vytvořená geometrie (z bodů a kruhových oblouků) je hyperbolická.
Trochu intuice o tomto modelu si můžete vytvořit z Escherových obrázků (tady je jejich historický kontext), kde je kruhový model vykachličkován různými obrazci, které se z našeho pohledu neustále zmenšují (jak se blížíme k hranici). Z pohledu plošníků jsou tyto objekty ale stejně velké, protože metrika naměřené vzdálenosti „nafukuje“ směrem k jednotkovému kruhu. Můžete si ty kachličky promítnout zpátky na hyperboloid a hned se vám budou zdát větší (když na ty obrázky budete dlouho zírat, tak ten hyperboloid skoro uvidíte). Mimochodem, zatímco eukleidovskou rovinu lze vykachličkovat pravidelnými obrazci jen několika málo způsoby, v hyperbolické rovině máte možností neúrekom.
Poincarého kruhový model je už celkem názorný, ale má ještě jednu malou didaktickou vadu. Většina studentů nemá pro kolmost kružnic příliš dobře vypěstovanou intuici, takže nám pan Poincaré pro studium hyperbolické geometrie vymyslel ještě jeden model, který je (dle mého názoru) nejstravitelnější.
Poincarého model poloroviny
V tomto modelu nám jako kolbiště poslouží běžná horní polorovina (y>0).
Minule jsme si trochu hráli s metrikou, ve které měříme infinitesimální vzdálenosti ds tak, že jejich eukleidovský ekvivalent de vydělíme y-souřadnicí, tedy ds = de/y. Celkem lehce jsme se přesvědčili, že tento model geometrie nebude eukleidovský, protože jsme podél jisté kružnice naměřili menší vzdálenost mezi koncovými body než podél přímky tyto body spojující.
Protože vzdálenosti směrem k ose x (kde je y = 0) rostou nade všechny meze, stačí nám omezit se na body v horní polorovině (y > 0). Dvourozměrní plošníci se nikdy k ose x nedostanou. Z jejich pohledu bude osa x hranicí i horizontem tohoto modelu. Proto ji budu značit h. Bodům, které na ní leží, říkáme opět „ideální body“. Ty nejsou organickou součástí této geometrie, ale umožňují nám představit si některé konstrukce.
Na to, abychom přesně odvodili, které křivky jsou v tomto případě skutečnými geodetikami (tj. nejkratšími spojnicemi), bychom potřebovali tzv. variační kalkulus (který v podstatě řeší minimalizační úlohy v prostoru funkcí), konkrétně Euler-Lagrageovu rovnici. S trochou píle by se pak dalo ukázat, že nejkratšími spojnicemi – tedy „přímkami“ – budou v případě této metriky kružnice kolmé na hraniční přímku – tedy osu x (včetně polopřímek kolmých na osu x, na které můžeme opět nahlížet jako na kružnice s nekonečným poloměrem).
V tomto ohledu je model poloroviny podobný tomu kruhovému. Praktický rozdíl spočívá v tom, že kružnice kolmé na osu x si lze velmi dobře představit. Jsou to přesně kružnice se středem na ose x (u kruhového modelu to neplatí: kružnice kolmá na jednotkovou kružnice má střed mimo ni a nelze ji tak lehce zkonstruovat). Proto je Poincarého model poloroviny jedním z nejpopulárnějších nástrojů při studiu hyperbolické geometrie. Body tohoto modelu jsou prostě body horní poloroviny a „přímky“ jsou všechny kružnice se středem na ose x (včetně vertikálních polopřímek). Obrázek nahoře vpravo ukazuje, že na vertikální polopřímky se můžeme dívat jako na limity kružnic, procházejících ideálním bodem P a se středem putujícím doprava k nekonečnu.
Spoustu geometrických úvah můžeme provést bez obtížných metrických výpočtů, pouze ze znalosti „přímek“ (tj. geodetik) – v tom spočívá půvab Poincarého modelu.
Protože všechny „přímky“, procházející bodem P (v horní polorovině) jsou kružnice se středy na ose x (viz obrázek vpravo), každý bod O této osy si lze představit jako střed jedné takové „přímky“, kterou pak lehce narýsujeme kružítkem (poloměr bude OP). Obrázek ukazuje několik „přímek“ procházejících bodem P.
Přidejme teď k předchozímu obrázku také přímku p, která bodem P neprochází – na dalším obrázku je vyznačena fialově. Vidíme, že některé přímky procházející bodem P tuto přímku neprotínají (jsou vyznačeny hnědě), zatímco jiné ano (zeleně). Už jen z toho je opět vidět, že tato geometrie je hyperbolická.
Těm oranžovým hraničním „rovnoběžkám“, které přímku p jen tak „líznou“ (a protínají ji pouze v ideálních bodech, které plošníci nevidí), říkáme limitní rovnoběžky (takový pojem v eukleidovské geometrii vůbec neexistuje). Ty tedy v bodě P představují jakousi „přepážku“ mezi přímkami protínajícími p a rovnoběžkami k p (v kruhovém modelu je situace znázorněna zde).
Vzdálenosti mezi dvěma body A a B (což jsou délky geodetik tyto body spojující) se počítají poměrně krkolomně, ale v případě, že body mají stejnou x-souřadnici (a leží tedy na přímce rovnoběžné s osou y) se výpočty dají zjednodušit.
Vezměme si bod A = (c, a) a bod B = (c, b), kde b > a. Protože při pohybu podél svislé geodetiky tyto body spojující (což je přímka x = c) se x nemění, ds = dy/y (protože dx = 0), takže můžeme lehce integrovat
d(A, B) = ∫ dy/y = ln y (absolutní hodnotu si odpustím, protože y > 0)
a protože meze integrálu jsou y = a a y = b, dostaneme
d(A,B) = ln(b) - ln(a) = ln(b/a)
Představme si tedy, že jsme plošníci, stojíme v bodě (0, 1) a pojedeme směrem k horizontu, podél zastávek, jejichž y-souřadnice budou odpovídat reciprokým hodnotám mocnin dvojky: A1 = (0, 1/2), A2 = (0, 1/4), A3 = (0, 1/8), A4 = (0, 1/16), atd. Jaké vzdálenosti mezi zastávkami při této jízdě naměříme?
Protože poměry sousedních y-souřadnic jsou stejné a vždy rovné dvěma, podle výše uvedeného vzorečku budou vzdálenosti (tedy to, co naměří plošníci) mezi každou dvojicí zastávek konstantní – a konkrétně rovny ln(2).
Zatímco nám se tedy jeví eukleidovské vzdálenosti mezi zastávkami A1, A2, A3... kratší a kratší, z pohledu plošníků budou jejich vzdálenosti stejné, a proto se jim osa x jeví být nekonečně daleko.
Další klasickou úlohou je konstrukce přímky procházející dvěma body. V tomto případě hledáme kružnici se středem na ose x a procházející danými body A a B. Pokud jsou body „nad sebou“, hledanou geodetikou bude příslušná vertikála. Ve zbylých případech aplikujeme středoškolskou geometrii.
Jakákoliv kružnice procházející body A a B musí mít střed na ose úsečky AB. A protože kružnice, kterou hledáme, musí mít střed také na ose x (aby to byla geodetika), narýsujeme si osu AB (na obrázku zeleně) a tam, kde protne osu x (bod O), bude střed hledané kružnice. „Přímka“ procházející body A a B bude tedy kružnice se středem v bodě O a s poloměrem OA = OB.
Jednoduché jako facka a nepotřebujeme k tomu žádnou metriku.
Jako cvičení si můžete zkusit narýsovat svůj vlastní hyperbolický trojúhelník. Vyberte si tři body v Poincarého polorovině, třeba A = (1, 1), B = (-1, 1) a C = (0, 2), a pěkně si ty tři přímky AB, AC a BC narýsujte. A pokud máte doma úhloměr, změřte si součet jeho vnitřních úhlů (budou to úhly mezi tečnami k příslušným kružnicím). Pokud budete rýsovat přesně, mělo by vám vyjít méně než 180° (přesný výpočet ovšem není žádná legrace – a u kruhového modelu je to ještě horší).
Jedinou malou chybkou modelu poloroviny je to, že není na první pohled vidět, jak souvisí s kruhovým modelem (a potažmo pak s modelem hyperboloidu). Na to se podíváme až příště – a zjistíme, že model poloroviny je vlastně zrcadlovým obrazem kruhového modelu – jen to zrcadlo budeme muset trochu vytvarovat.
Chování skororovnoběžek
Teď když máme několik funkčních modelů hyperbolické geometrie – a nemusíme se plazit po pseudosféře či hyperboloidu s krejčovskou mírou a přeměřovat křivky pomocí podivných metrik – můžeme se vrátit k původnímu tématu a podívat se podrobněji jak se v rozdílných geometriích chovají rovnoběžky (které jsme si definovali jako přímky, které se neprotínají).
Zatím jsme se opírali o Playfairův axiom a zjistili jsme, že pro danou přímku p a bod P, který leží mimo ni, lze počet rovnoběžek (s přímkou p) procházejících bodem P charakterizovat takto: v eukleidovské geometrii existuje právě jedna taková rovnoběžka, ve sférické geometrii neexistuje žádná a v hyperbolické geometrii jich nalezneme nekonečně mnoho.
Původní Eukleidův axiom se ovšem zaobíral malinko odlišnou situací (viz obrázek). Pokud máme danou přímku r a protneme ji dalšími dvěma přímkami p a q tak, že součet vnitřních úhlů a + b < 180°, pak se přímky p a q musí nutně protnout (podrobnější diskusi a celou řadu tvrzení, která jsou ekvivalentní pátému axiomu najdete na anglické wiki).
Pojďme si teď rozmyslet speciální případ, kdy jsou oba úhly pravé: a = b = 90°. Vezmeme si libovolné dva body P a Q dané přímky r a těmito body povedeme další dvě přímky p a q v pravém úhlu. Jak asi očekáváte, chování těchto dvou přímek p a q bude záviset na typu geometrie. A aby se nám nepletlo názvosloví, budu jim říkat „skororovnoběžky“.
V eukleidovské geometrii běží skororovnoběžky stále podél sebe, udržujíce si konstantní odstup a jsou tedy rovnoběžkami v pravém slova smyslu.
V neeukleidovských geometriích je to jinak.
Podívejme se nejprve na sférický případ. Za přímku r si zvolíme rovník a na něm si vybereme dva body P a Q, kterými povedeme kolmé přímky p a q (což budou v tomto případě dva poledníky). Jak je známo ze zeměpisu, poledníky se sbíhají (až se nakonec na severním pólu protnou). Skororovnoběžky p a q tedy rovnoběžkami nejsou vůbec.
Možná vám připadne, že jsem si vzal velice speciální situaci, kdy přímkou r je zrovna rovník. Ale zvažte si, že sféra je zcela symetrická, takže pokud bych uvažoval jinou hlavní kružnici r, tak stačí sféru vhodně natočit tak, aby se rovník s touto hlavní kružnicí r překrýval. Jinými slovy: na sféře bychom si mohli zadefinovat nové zeměpisné souřadnice, odpovídající novému severnímu pólu N, jehož vektor ON bude kolmý na vektory OA a OB (O je střed sféry).
Pro hyperbolickou analýzu si vezmeme Poincarého kruhový model a za přímku r si vybereme jeden z průměrů hraniční kružnice (viz obrázek). Z bodů P a Q opět vyšleme kolmé geodetiky p a q (v tomto případě kružnice kolmé na hraniční kružnici) a zjistíme, že tyto „přímky“ se neprotnou ani na jedné ani na druhé straně r. A nejen že se neprotnou, ale jejich vzdálenosti (poměřované příslušnou metrikou) budou narůstat (můžete si ze standardních vzorečků spočítat, že z pohledu plošníků budou narůstat k nekonečnu – všechny ideální body jsou od sebe nekonečně daleko).
I tady byste mohli argumentovat, že jsem si hyperbolickou analýzu usnadnil speciálním výběrem přímky r. A i tady se ale dá ukázat, že obecný případ se dá převést na ten speciální vhodnou hyperbolickou rotací (na ty se podíváme příště).
Takže sečteno a podtrženo: dvě skororovnoběžky se ve sférické geometrii sbíhají, v hyperbolické rozbíhají a v eukleidovské běží stále podél sebe, jak můžete vidět třeba na obrázku z wiki (kde ta svislá úsečka reprezentuje naši geodetiku r).
A co říci závěrem? Tyto modely – eliptický (sférický), hyperbolický a eukleidovský – popisují pouze situaci, kdy se charakter křivosti (a tedy charakter geometrie) nemění. V těchto případech se geodetiky dají studovat pomocí elementárních geometrických metod.
V obecném případě se ale křivost mění bodu od bodu a s tím se pak mění i charakter geometrie. Vezměme si například plochu na obrázku vpravo (předvede nám ji neeukleidovská modelka Afrodité). V oblasti obou vrcholů je charakter této geometrie sférický, zatímco v horském sedle mezi nimi bude hyperbolický. Geodetiky se v tomto případě už nedají popsat elementárně a musí se spočítat pomocí diferenciálních rovnic. Pokud si vezmeme nějakou geodetiku r a z jejích dvou bodů vyšleme kolmé skororovnoběžky p a q, pak to, zda se tyto budou sbíhat či rozbíhat bude záviset na lokálních vlastnostech oblastí, kterými budou procházet. To už jsou ale poměrně komplikované výpočty, takže je s radostí přenecháme koňovi, který má na ně větší hlavu.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora. Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
