Co říká matematika o koronaviru a jak správně interpretovat pojmy, které dennodenně slýcháme v médiích?
„V březnu někdo přišel s tím matematickým modelem a v srpnu někdo, sice to byl ten stejný člověk, přišel zase s něčím jiným.“ Tak nějak zněla část premiérovy odpovědi během tiskové konference dne 12. října na dotazy novinářů, proč Česká republika boj s koronavirem prohrává. Premiér ve své odpovědi naznačoval něco o matematickém modelu. Pojďme se tedy podívat, jak takový matematický model vývoje epidemie vlastně vypadá a co všechno nám dokáže o šíření viru prozradit. Je možné, že by se mohl zmýlit?
Základní epidemiologický model
Jak zhruba vypadá průběh epidemie, všichni víme v souvislosti s běžnou sezónní chřipkou. Z médií obvykle slýcháme, jak narůstá počet nemocných, jak je epidemie na spadnutí, poté jak právě vypukla, jak brzy dosáhne svého vrcholu, jak je na ústupu, až nakonec jak dá zase na nějakou dobu téměř všem pokoj. Jsme tak svědky jakési časové epidemické vlny, která se přežene a u které nás zejména zajímá, za jakých podmínek vzniká, jak vysoký bude její vrchol, jak dlouho potrvá, kolik lidí nakonec zasáhne a zda jsme schopni její průběh ovlivnit.
Základní model, který můžeme použít k modelování epidemické vlny chřipky, ale i jiných onemocnění, je vlastně velmi jednoduchý. Stěžejní myšlenka modelu spočívá v tom, že populaci rozdělíme do tří základních skupin:
• S (z angl. susceptibles) - potenciálně nemocní, tj. jedinci, kteří
se mohou nakazit
• I (z angl. infectives) - infikovaní, nemocní jedinci
• R (z angl. removed class) – takzvaně vyřazení jedinci, kteří už
nemoc měli a vyléčili se, jsou imunní, nebo nemoci podlehli a zemřeli
Na samém počátku máme populaci, v níž jsou všichni jedinci náchylní k dané infekci a do které vstoupí jeden či několik málo nemocných. Ti během doby, kdy jsou infekční (tedy než se uzdraví či zemřou), mohou některé náchylné jedince nakazit a ti pak nemoc šíří dále.
Model složený ze skupin S, I, R se nazývá SIR model. V matematické epidemiologii se modely často popisují zkratkami, kde jednotlivá písmena znamenají modelové třídy a jejich pořadí udává směr postupu mezi jednotlivými třídami. Přičemž rychlost postupu mezi nimi se řídí dvěma parametry:
• Míra infekčnosti neboli pravděpodobnost nákazy, tedy pohyb z kategorie S do I. Tento parametr popisuje rychlost šíření nákazy neboli hodnotu reprodukčního čísla, o kterém jsme již psali. Dále popisuje kvalitu preventivních opatření ve společnosti, zejména izolaci nemocných, preventivní léky či přípravky a úroveň hygieny. Tento parametr také závisí na zájmu společnosti a na vědomostech o nemoci.
• Míra uzdravení neboli rychlost léčení nemoci, tedy pohyb z kategorie I do kategorie R. Tento parametr nastavuje míru závažnosti choroby, to znamená technické a organizační prostředky při jejím léčení.
Na animaci níže si můžete prohlédnout, jak vypadají příslušné křivky jednotlivých skupin modelu SIR. Vidíme zde křivku potenciálně nemocných, infikovaných i vyřazených jedinců. Všimněte si, že v případě křivky vyřazených jedinců jde o takzvanou logistickou křivku, o které jsme psali minule. A v případě infikovaných jedinců je názorně vidět exponenciální průběh křivky.
Z animace lze zároveň vyčíst, jaký průběh bude epidemie mít, jakou část populace asi postihne a ve kterém dni od jejího vypuknutí lze očekávat vrchol.
Výhodou animace je, že si můžete vyzkoušet, jak parametry udávající míru infekce a uzdravení ovlivňují průběh epidemie. Je vidět, že velikosti obou parametrů jsou stěžejní pro fakt, zda nemoc vůbec propukne v epidemii, či zda se pozvolna sama od sebe vytratí. A přesně to je pro nás důležité.
Změna hodnot těchto parametrů se do reálného světa promítá prostřednictvím různých opatření, ať už jde o uvědomělé mytí rukou či nařízení vlády. Vše má jediný cíl – zploštit vrchol epidemie a prodloužit epidemie do delšího časového období, aby nedošlo k zahlcení nemocnic. Otázkou samozřejmě je, co konkrétně dokážeme ovlivnit. Kromě již zmíněné hygieny, snižuje koeficient míry infekčnosti také nošení roušek, dobrá tělesná kondice, zdravý životní styl či omezování osobních kontaktů. Samozřejmě že nejúčinnější je zůstat doma a nikam nevycházet. V takovém případě se sami efektivně vyřadíme z populace a až epidemie odezní, můžeme se do společnosti vrátit jako živý jedinec bez prodělané infekce.
Model, který jsme zde představili, názorně demonstruje základní princip přístupu matematického modelování síření epidemií. Výhodou modelu SIR je bezesporu jeho jednoduchost, a tudíž i průzračnost. Nevýhodou naopak je, že nepracuje s věkovým složením obyvatelstva, inkubační dobou nemoci nebo úmrtností. Za účelem co možná nejpřesnějších predikcích vývoje epidemie, v současné době především nemoci COVID-19, se vyvíjí na celém světě mnoho matematických modelů.
Předpovědi vytvořené na základě těchto modelů mají dalekosáhlé důsledky, neboť mohou ovlivnit vlády ohledně jejich postupu při potlačení epidemie. Primárním a nejdůležitějším využitím epidemiologických modelů v praxi je odhadnout účinek různých zásahů a opatření, která mají za cíl snížit zátěž nemoci.
Nejčastější chybou uživatelů těchto modelů, včetně politiků, veřejnosti a médií je, že se často zaměřují především na kvantitativní předpovědi. Touží z modelů vyčíst, kdy epidemie skončí a kolik životů si vyžádá. Ostatně, určitě všichni chceme slyšet datum, kdy budeme moct definitivně zahodit roušky. Na tuto predikci by se nám však hodila spíš křišťálová koule než matematický model.
Hlavní pozornost při práci s epidemiologickým modelem musí být zaměřena na různé druhy zásahů, které se ukrývají za výše zmíněnými parametry a které nám pomohou zpomalit přibývající počty nakažených tak, aby nezkolaboval zdravotnický systém. Ačkoliv nám modely mohou rámcově odhalit, kdy se očekává nejvyšší počet případů, kdy je sociální izolace efektivní anebo kdy nastane čas zvážit, zda opět otevřít školy, rozhodně jde o údaje pouze informativního charakteru.
Je třeba si také uvědomit, že jak parametr infekčnosti, tak parametr uzdravení ve skutečnosti nezůstane po celou dobu epidemie konstantní. Je velmi pravděpodobné, že při velkém promoření populace virem si lidé začnou dávat větší pozor, čímž se sníží parametr infekčnosti. Nebo budou ochotněji zůstávat s příznaky nemoci doma, a tudíž se zvýší parametr uzdravení. Anebo také zůstanou v preventivní karanténě a vyřadí se zcela z potenciálně nakažlivé populace.
Chování lidí však matematicky předpovídat neumíme. Vždy tedy musíme k modelu přistupovat jako k situaci, kdyby lidé setrvali ve svých stereotypech chování. Modely nám tedy poskytují pouze nahlédnutí do toho, co je před námi, a nemohou předem předpovídat přesný vývoj epidemie v rozsahu několika týdnů nebo měsíců.
Předpovídání budoucnosti pandemie COVID-19 bylo na jejím začátku navíc ztíženo tím, že šlo o nový druh viru. Je třeba si uvědomit, že na počátku nové epidemie máme jen velmi málo údajů o úmrtích, testech a dalších faktorech. Zpožděná hlášení či špatná dokumentace pak ovlivňují výstup každého modelu. Jarní předpovědi průběhu epidemie COVID-19 byly založeny na omezených datech. Například předpovědi předpokládaly podobné důsledky sociální izolace, jaké byly pozorovány jinde ve světě (zejména v čínské provincii Chu-pej). Předpokládaný model úmrtnosti nebyl založen na žádné epidemiologické vědě, a závisel na aktuálních údajích o hlášeném předchozím zvyšujícím se počtu úmrtí v každém regionu – na údajích, o nichž se všeobecně ví, že jsou podhodnoceny a špatně hlášeny. A co je pro nás v tuto chvíli nejbolestnější, model nezohlednil možnost jakékoli druhé vlny infekcí či případných mutací viru.
Je proto potřeba neustále aktualizovat projekce, protože máme o nemoci k dispozici stále více údajů a jsme tak schopni přesnějších odhadů.
Matematické modely pro ČR
Jak zhruba vypadají grafy epidemie COVID-19 pro Českou republiku? Na rozdíl od jiných onemocnění je COVID-19 poměrně specifický tím, že jde o vir s vysokou mírou infekce a dlouhou inkubační dobou. Dle Ústavu zdravotnických informací a statistiky ČR je průměrná inkubační doba 5,8 dne a průměrná infekční doba pět dní. Vraťme se k již zmíněnému modelu SIR a přidejme k němu ještě čtvrtou skupinu E (z angl. exposed), a to skupinu již infikovaných jedinců, kteří ale ještě nemají žádné příznaky onemocnění. Tato skupina je z hlediska šíření nákazy COVID-19 nejproblematičtější, jelikož nakažení jedinci mohou vylučovat vir ještě před nástupem klinických příznaků a podchytit je lze pouze dobrým trasováním. Postup mezi jednotlivými skupina bude následující: S -> E -> I -> R.
V souvislosti s tímto druhem onemocnění jsou pak důležité ještě dva faktory. Prvním je reprodukční číslo udávající, kolik k nákaze náchylných osob se v průměru nakazí od infekční osoby v případě běžného chodu života. Tento parametr je dán podstatou nemoci a bez možnosti opatření, jako je například očkování, s ním vlády těžko něco nadělají. Druhým faktorem je intenzita společenských kontaktů, která se může pohybovat od stavu běžného chodu společnosti až po extrémní případ absolutní izolace všech osob. Vědecké studie ukázaly, že společenský odstup je poměrně zásadní v případě šíření nemoci COVID-19.
Abychom mohli použít model SIR v případě epidemie COVID-19, musíme předpokládat, že lidé, kteří se zotaví z nemoci, znovu neonemocní (což je alespoň pro krátkodobé predikce reálné), dále že nakažení pacienti jsou infekční dříve, než jsou hospitalizováni či izolováni, a nakonec že každý infikovaný jedinec (v případě, že nezavedeme žádná opatření a nikdo v populaci není imunní) má stejnou pravděpodobnost potkat náchylného jedince a nakazit ho v závislosti na hodnotě reprodukčního čísla R.
Na animaci si můžete vyzkoušet, jak reprodukční číslo, intenzita společenských kontaktů, ale také inkubační či infekční doba nemoci ovlivňují průběh epidemie. Všimněte si také, že skupina takzvaně bezpříznakových infekčních jedinců je poměrně velká. Znamená to, že v populaci je spousta lidí, kteří jsou infekční, ale nemusejí o tom vůbec vědět.
Predikce vývoje
V dalším popisu se zaměříme pouze na křivku infikovaných jedinců, neboť to, co nás nejvíc zajímá, je jak se v budoucnu budou vyvíjet počty nakažených. Na grafu si můžete prohlédnout, jak by hypoteticky mohl vypadat průběh epidemie v České republice od 1. 3. 2020, pokud by nebyla přijata žádná opatření a populace by se nechala takzvaně promořit. Připomeňme, že na začátku března byly k dispozici záznamy o třech nakažených osobách, reprodukční číslo (dle statistik z jiných zemích) se pohybovalo kolem 2.8 a inkubační doba nemoci byla odhadnuta na 9-14 dní.
Z grafu je dobře patrné úskalí exponenciálního růstu – na počátku přibývá počet nakažených jen nepatrně (v rámci měřítka celé republiky), ale zhruba od stého dne propuká epidemie v plné šíři a křivka začíná strmě růst. Na vrcholu epidemické vlny se pak pohybujeme v denním přírůstku přes 800 tisíc nakažených.
Takový scénář je bez nadsázky hororový. Navíc netušíme, jaký je skutečný počet infikovaných osob, a vzhledem k dlouhé inkubační době nemoci je velká pravděpodobnost, že infikovaných lidí bude daleko více, než jen tři známé případy. To by znamenalo, že křivka začne strmě stoupat daleko dříve, než dle odhadu našeho modelu. Není divu, že se všichni vyděsili. Vláda dne 12. 3. vyhlásila nouzový stav a následně začala zavádět protiepidemická opatření.
Na dalším obrázku vidíme nástup epidemie detailněji. Všimněte si dvou důležitých faktů. První je, že počty nakažených přibývají opravdu rychleji než dle odhadu, a druhý, že i po vyhlášení nouzového stavu trvá zhruba 14 dní, než křivka počtu nakažených začne klesat. Tato časová prodleva odpovídá inkubační době COVID-19.
Ve výsledku je z grafu zřejmé, že první vlnu epidemie jsme zvládli. Denní přírůstky nakažených nezačaly strmě stoupat, ale naopak se vlivem opatření začaly snižovat, reprodukční číslo se nám podařilo srazit na hodnotu pohybující se kolem jedné a my jsme si mohli oddychnout. Během letních prázdnin sice denní počty nakažených pomaličku stoupaly, ale nikdo se tím neznepokojoval. Jen málokdo tušil, že se ocitáme na začátku druhé vlny, která bude mnohem horší než ta předchozí.
Kdybychom si vymodelovali predikci vývoje k 31. 8., nebude sice nikterak růžová, ale současně nebude vůbec odpovídat reálnému scénáři. Jak je to možné? Modelem jsme sice schopni zachytit následující vývoj epidemie, ovšem s parametry, které zůstanou takzvaně zmražené. Jak už jsme zmínili, na šíření nemoci COVID-19 má obrovský vliv míra společenského kontaktu, která se s nástupem dětí do škol mnohonásobně zvýšila. Model také nedokáže počítat s mutací viru. A v neposlední řadě zde má roli i sezónní chování viru, tedy že se mu za nižších teplot daří lépe.
Výsledkem je současný strmý růst exponenciální křivky. Šíření viru je čím dál rychlejší a přijatá protiepidemická opatření (byť jsou stejná jako v březnu) jsou v tuto chvíli daleko méně účinná. Navíc dle výzkumů lidé v současné době omezují své kontakty pouze o 10 – 20 %. Pokud bychom chtěli křivku infikovaných zploštit, museli bychom se izolovat daleko více.
Modely, se kterými pracují odborníci, jsou ve skutečnosti mnohem složitější, neboť obsahují daleko více skupin a parametrů. Udává se kolem třiceti. Oficiální model šíření nákazy, kterým se řídí česká vláda při návrhu opatření, sestavuje Ústav zdravotnických informací a statistiky. Jejich epidemiologický model pracuje hned s několika variantami, jak se může situace vyvíjet. Jisté však je, že současná vlna epidemie svého vrcholu ještě nedosáhla.
Jak z epidemie ven?
Dle odborníků jsou cesty k zastavení epidemie v principu dvě. První možností je již mnohokrát zmíněné omezení společenských kontaktů. Nemoc COVID-19 je velmi zrádná, a to tím, že člověk je nakažlivý několik dní dříve, než se u něj nemoc projeví. Proto pouhé testování a případná karanténa neovlivní parametr společenského odstupu natolik, aby se dostatečně snížil počet infekcí způsobených určitou osobou. To platí zejména tehdy, ocitneme-li se v rozběhnuté epidemii a počet infikovaných už je příliš velký na to, aby bylo možné trasovat, tedy sledovat všechny kontakty infikované osoby, a otestovat každého kdo přišel do styku s nakaženým, dříve než se sám stane infekčním.
Druhou možností, jak může epidemie zmizet, je díky takzvané kolektivní imunitě. To znamená, že počet lidí ve skupině „vyřazených“ dosáhne takového podílu, že infikovaní se již setkávají s natolik malým počtem náchylných jedinců, že nemoc postupně odeznívá. U nemoci COVID-19 je dle Světové zdravotnické organizace tato hranice na 61 %.
V grafu je tato hranice dobře vidět, neboť se zde protíná křivka náchylných (potenciálně nemocných) jedinců s křivkou vyřazených jedinců a zároveň zde křivka infikovaných jedinců dosahuje svého vrcholu a posléze začíná klesat. Avšak vydat se cestou kolektivní imunity by znamenalo ten nejtragičtější scénář. Česká republika s více než 310 tisíci nakaženými takového stavu ani zdaleka nedosáhla – jsme na necelých 2,9 % promoření populace. Ve Spojených státech, kde již zemřelo více než 200 tisíc lidí, má podle nedávné studie protilátky proti novému koronaviru – a tedy se s ním v minulosti prokazatelně setkalo – jen 10 % obyvatel. Je pravda, že některé těžce zasažené oblasti se kolektivní imunitě blížit mohou. Cena za to je však vysoká – znamená to, že se epidemie zcela vymkne kontrole a lidé umírají i proto, že se jim nedostává adekvátní lékařské péče.
Určit přesné parametry nemoci COVID-19 bylo na začátku epidemie takřka nemožné. Počáteční hodnoty, se kterými dnes pracujeme, byli vědci schopni spočítat až zpětně. A je toho stále hodně, co o viru nevíme a čím nás může v budoucnu překvapit. Co však z matematického modelu zjistit můžeme, je to že i při dnešní rychlosti šíření, která je neúnosně velká, by se za rok v Česku nakazil jen milion lidí. A pokud máme naději, že do roka bude k dispozici očkování, vyplatí se nákaze předcházet a co nejvíce ji oddalovat, protože přibližně v devíti z deseti případů to vyjde, a to už za obezřetnost stojí.
