Tvrdí, že počítání není jeho silnou stránkou. Matematik Dalimil Peša má na své práci nejraději tu část, kdy zkoumá problém ze všech stran a čeká na nápad. „Tahle fáze je nejzábavnější a je hodně sympatická v tom, že se dá dělat prakticky kdekoliv, třeba na procházce,“ usmívá se absolvent Matfyzu a taky čerstvý držitel International Stefan Banach Prize. Ocenění získal za svou disertaci jako vůbec první český zástupce.
Vaše kolegyně z katedry dr. Lenka Slavíková, laureátka Ceny Neuron pro nadějné vědce 2023 říká, že matematiku považuje za druh umění, u kterého nikdy dopředu neví, kam ji přesně zavede. Jak vnímáte matematiku vy? Čím vás okouzlila?
Matematiku vnímám jako snahu o to rozumět věcem v jejich nejčistší podobě. Vždycky mě bavilo přicházet věcem na kloub, ať už šlo v podstatě o cokoliv, a právě proto mě uchvátila matematika svojí abstraktností. Matematické problémy, na rozdíl od problémů mnoha jiných věd, jsou přesně definované a typicky nejsou příliš komplikované. Tím nemyslím, že by snad nebyly těžké, ale že množství faktorů, které do problémů vstupují, bývá zpravidla relativně malé, a hlavně o všech víte dopředu. Díky tomu se problémy často dají uchopit jako celek, dá se jim perfektně porozumět do všech podrobností a je možné nalézt řešení, které bude naprosto přesné. Jakmile máte důkaz a opravdu pořádně mu rozumíte, tak v jistém smyslu víte vše, co o daném problému vědět jde. A jakmile je jednou důkaz správně, tak je správně navždy; tedy pokud lidé nezmění názor na to, co znamená, že je něco „správně“… Výsledkem je, že matematika umí být opravdu velmi elegantní a krásná. Samozřejmě to neplatí vždy, ale té krásy je tam opravdu hodně.
Věnujete se matematické analýze. Jak byste tuto disciplínu přiblížil laikovi? K čemu slouží?
Matematická analýza se v jádru zabývá funkcemi a dalšími koncepty, které se studiem funkcí přirozeně souvisí (posloupnosti, derivace, integrál, diferenciální rovnice atp.). Klíčová motivace pochází z fyziky, jelikož mnoho fyzikálních jevů jde popsat pomocí funkcí a diferenciálních rovnic.
Analýza je dobře známá všem studentům Matfyzu, protože jde o jeden z povinných a taky nejobávanější předmětů v prvním ročníku. Jak jste na počátku svých studií válčil s analýzou vy? Přepokládám, že to pro vás nebylo nic tak hrozného, když jste si ji posléze zvolil jako svoje zaměření…
Analýza skutečně patří mezi nejobtížnější předměty v prvním, ale i ve druhém ročníku. Největší problémy dělají tradičně písemky, kde se vždy musí spočítat několik těžkých úloh a není na to mnoho času. To byl i můj případ, počítání není moje silná stránka, takže jsem s tím pokaždé hodně bojoval. Ostatně, jediná zkouška, ze které mě kdy vyhodili, byla právě Matematická analýza 3, kde jsem na první pokus nenapsal písemku. Naopak ústní části, kde bylo třeba dokázat zadané věty, mi většinou problémy nedělaly.
Rozhodně to tedy nebylo tak, že bych si svůj obor vybral, protože by mi připadal snadný. Popravdě, předměty z bakalářského studia, které byly dle mého názoru nejobtížnější, jsou často právě ty, které jsou mému současnému zaměření nejblíže, kromě Matematické analýzy 1-4 také Teorie míry a integrálu a především Úvod do funkcionální analýzy, který byl podle mě na bakaláři vůbec nejtěžší.
Co vás tedy na analýze zaujalo?
Těch faktorů bylo víc, ale ten nejdůležitější je, že mi analýza připadá krásná. Nejen samotné výsledky a pojmy, se kterými pracuje, ale především metody, které se používají v důkazech. Analýza je totiž podle mého tak akorát abstraktní. Na jednu stranu je dostatečně abstraktní na to, aby teorie byla přehledná a elegantní, na druhou stranu je pro mě stále ještě uchopitelná a dovedu mít jistou intuici o tom, jak se objekty, se kterými pracuji, chovají. To mi vyhovuje, jelikož nemám rád, když jsou problémy příliš konkrétní, protože pak člověk tráví mnoho času „patláním“ se s detaily, přes které často není vidět, o co v problému vlastně jde. Na druhou stranu, některé obory jsou natolik abstraktní, že i když po přečtení důkazu rozumím všem krokům, tak netuším, co se děje. Proto jsem si vybral obor, který je tak akorát uprostřed.
Jak jste si našel svoje zaměření?
Klíčový byl můj školitel, profesor Luboš Pick. Měl jsem štěstí, že jsem se s ním na začátku studia setkal i v neformálním prostředí a přišlo mi, že to je člověk, se kterým se mi bude dobře spolupracovat. Také jsem věděl, že podporuje, aby studenti už v rámci bakalářské práce dělali vlastní výzkum, o což jsem se v té době chtěl pokusit. Proto jsem ho oslovil, aby vedl mou bakalářskou práci. Neměl jsem ale v tu chvílí žádnou představu o konkrétním tématu, jen jsem věděl, že to bude analýza a že mě to tedy snad bude bavit. Dostal jsem zadány prostory funkcí, kterých se do značné míry držím dodnes.
Prostory funkcí jsou i tématem vaší disertační práce. O co zhruba jde?
Bohužel, prostor funkcí je docela abstraktní pojem, který je těžké vysvětlit, aniž by se člověk odvolával na nějaké pokročilejší matematické znalosti, takže každé vysvětlení nutně bude poněkud kostrbaté a ne úplně přesné. V principu je to ale prostor, kde každý jednotlivý bod je ve skutečnosti funkcí.
Člověk se relativně běžně může setkat s jednorozměrným prostorem, tedy přímkou. Též se běžně setkáváme s dvourozměrným prostorem, tedy rovinou, a samozřejmě všude okolo nás je trojrozměrný prostor. Každý bod v takovém prostoru pak můžeme popsat pomocí souřadnic, což jsou vlastně jen skupiny několika čísel: jednoho na přímce, dvou v rovině, tří v prostoru. Právě počet čísel, která k tomu potřebujeme, je rozhodující pro to, kolikarozměrný daný prostor je, a ukazuje se, že pokud chce člověk s takovým prostorem pracovat, tak mu k tomu často stačí pouze souřadnice. Jakmile ale pracujeme jenom se souřadnicemi, tedy skupinami čísel, tak nám nic nebrání použít větší skupiny než jen trojice. Můžeme si tak snadno zavést třeba sedmirozměrný prostor prostě tak, že uvážíme souřadnice, které mají sedm složek. Takový prostor si samozřejmě nelze představit, ale to nám nebrání s ním pracovat, protože dokud ho máme popsaný souřadnicemi, tak se chová v mnoha ohledech stejně jako dvou či třírozměrné prostory.
Klíčové v tomto případě je, že body můžeme sčítat (tak, že sečteme vždy odpovídající souřadnice) a násobit číslem (tak, že všechny souřadnice vynásobíme tímto číslem) a také, že v těchto prostorech umíme měřit vzdálenost (tak, že na jednotlivé souřadnice postupně aplikujeme Pythagorovu větu). Funkce jsou pak svým způsobem hodně podobné těmto souřadnicím, akorát jich máme nekonečně mnoho; pro každý bod definičního oboru je souřadnicí právě funkční hodnota. V principu je tedy prostor funkcí nekonečněrozměrnou variantou klasických, představitelných prostorů. Důležité je, že stále můžete sčítat a násobit číslem a že i v takovém prostoru lze měřit vzdálenost.
Dá se nějak jednoduše formulovat, čím jste se zabýval ve své práci, na co jste přišel a jaký to může mít užitek?
V disertaci jsem se zabýval třemi oblastmi. V první části jsem studoval abstraktní třídu prostorů funkcí. Tato třída je zadaná pomocí axiomů, tedy nemáte k dispozici konkrétní předpis, které funkce do prostoru patří a jak se v něm měří vzdálenost, pouze víte, že prostor musí mít nějaké zadané vlastnosti. Cílem je pak zjistit, co se o takovém prostoru dá říct jen s využitím těchto axiomů. To je velmi užitečné, protože když pak pracujete s nějakým konkrétním prostorem, tak vám stačí ověřit, že splňuje tyto axiomy, a najednou máte k dispozici celou řadu nástrojů, které vám mohou velmi usnadnit práci. Ostatně, k tomuto tématu jsem se dostal právě tak, že jsem při studiu konkrétních prostorů chtěl použít některé abstraktní výsledky, ale nemohl jsem, protože existující teorie pracovaly s příliš silnými předpoklady, které pro tyto prostory často nebyly splněné. Proto jsme se pustili do tvorby teorie, která by zahrnovala všechny pro nás důležité případy, původně ve spolupráci s docentem Alešem Nekvindou z ČVUT a posléze dalšími kolegy.
Druhá část práce se věnuje konkrétní třídě prostorů, nazývaných Lorentzovy-Karamatovy. To jsou prostory funkcí, které se v poslední době relativně často objevují v různých oblastech matematiky (například teorie interpolací), ale neexistovala pro ně ucelená teorie a mnohé vlastnosti nebyly dobře popsané. Využití by tedy v tomto případě měla být ideálně ta, že matematici, kteří s těmito prostory pracují, si budou moci snadno dohledat všechno, co potřebují k řešení problémů, které je zajímají.
Třetí část se pak týkala aplikací, což je myšleno tak, že se metody z teorie prostorů funkcí využily k řešení problémů z jiných oblastí.
Přibližte mi, jak práce na něčem takovém vypadá v praxi. Sednete si za stůl s tužkou a papírem a začnete počítat?
To není tak daleko od pravdy, ale je to jen jedna část celého procesu; a taky zpravidla nejde o počítání v tom smyslu, jak si to lidé obvykle představují. Práce na otevřeném problému má typicky čtyři části. Jednak je třeba studovat dostupnou literaturu, která s problémem souvisí, to znamená číst články a knihy. Díky tomu člověk získá potřebný kontext, nástroje, se kterými může pracovat, a často také inspiraci, jak k problému přistoupit. Pak je potřeba dostat nějaký nápad, to znamená přemýšlet o problému z různých úhlů, dokud člověk nevymyslí, jak by se důkaz dal provést. Tahle fáze je nejzábavnější a je hodně sympatická v tom, že se dá dělat prakticky kdekoliv, například i na procházce. Třetí fáze je pak nejvíce podobná vaší představě, je potřeba si sednout k papíru a rozpracovat detaily. To zahrnuje často i nějakou formu počítání, ale v abstraktním slova smyslu, kdy výsledkem není číslo, ale například platnost nějakého odhadu pro danou funkci nebo něco takového. No a nakonec je potřeba všechno sepsat do podoby publikovatelného článku.
Samozřejmě to nikdy není takto jednoduché a přímočaré. V každé fázi se mohou objevit problémy, kvůli kterým je potřeba se vrátit k předchozím krokům. Je úplně běžné, že i během sepisování zdánlivě hotového výsledku se ukáže, že některé části důkazu vlastně nejsou dotažené a že je potřeba teprve vymyslet, jak se to udělá pořádně.
Máte nějaký rituál, který vás před tím, než se pustíte do práce, zaručeně „nakopne“? Někdo si udělá kávu, jiný si jde zaběhat… Jak to má matematik?
Já osobně na rituály nikdy úplně nebyl, takže nic takového nemám. Jediné, co se tomu blíží, je asi to, že pokud jsem ve fázi hloubání nad problémem a hledání nápadů, tak mám tendenci různě cestovat po bytě, budově nebo i chodit venku po okolí.
Kam chcete dál směřovat a čím byste se chtěl zabývat? Plánujete zůstat na Matfyzu a navázat na téma ze své disertační práce?
Určitě se chci dál věnovat vědě. Aktuálně pracuji jako postdok na TU Chemnitz, kde mám smlouvu na dva roky. Dál pak nemám konkrétní plány, ale výhledově bych se chtěl určitě vrátit do Čech a najít si místo na nějaké univerzitě nebo na Akademii věd. Pokud jde o výzkum, tak se v současné době především snažím využít nového prostředí k rozšíření obzorů, abych se mohl do budoucna věnovat širšímu spektru problémů než doposud. Na dosavadní témata jsem ale rozhodně nezanevřel, především v oné abstraktní teorii je stále mnoho zajímavých otevřených problémů.
Co pro vás znamená ocenění Banach Prize?
Je to pro mě především důkaz, že má dosavadní práce měla smysl, a také velká motivace do budoucna, abych se snažil dosáhnout dalších zajímavých výsledků.
The International Stefan Banach Prize uděluje Polská matematická společnost autorům výjimečných disertačních prací z oblasti matematiky. Cena nese jméno polského matematika a zakladatele funkcionální analýzy Stefana Banacha a jejím cílem je podpora mladých vědeckých talentů ze střední a východní Evropy.
Mohlo by vás také zajímat:
Vedoucí
Fyziklání: Chcete ovládnout matematiku? Začněte fyzikou!
Hana
Turčinová: Neumím si představit vědu bez práce pro komunitu
S čistou
hlavou nad mraky