Na první pohled by se mohlo zdát, že se komplexní funkce chovají jako reálné funkce více proměnných - téma, které se probírá na většině technických škol. Ve skutečnosti jim ale pan Íčko propůjčuje některé téměř magické vlastnosti.
Z pohledu fyzika nebo inženýra nemají komplexní funkce příliš prostoru k praktickému uplatnění. Většina procesů, které pozorujeme kolem nás, se dá zcela uspokojivě popsat reálnými funkcemi, takže se stačí dobře naučit infinitesimální počet (v reálných proměnných) a je vystaráno.
Z pohledu matematika však rozšíření běžných reálných funkcí do komplexního oboru představuje vítanou příležitost pozorovat jejich chování v daleko širším kontextu. O tygrovi se toho moc nedozvíte, pokud ho budete pozorovat jenom při jeho přecházení sem a tam v cirkusové kleci. Jakmile ho ale vypustíte do džungle, dozvíte se o něm věci, které vás možná budou až mrzet.
O funkcích platí v jistém smyslu totéž co o číslech: pokud se při jejich studiu omezíte jen na reálnou osu, sledujete pouhou siluetu tanečního vystoupení promítnutou na stěnu sálu. Pokud je chcete matematicky uchopit v plné barvitosti, musíte se volky nevolky vydat do komplexní roviny a pohlédnout tváří v tvář jejich skutečnému obrazu.
+++++++++
Minule jsem vám ukázal, že když rozdělíme komplexní funkci na její reálnou a imaginární složku, získáme de facto dvě funkce v reálných proměnných x, y. Na obrázku je to ukázáno pro funkci f(z) = z2, která se po takovém rozdělení rozpadne na dvě reálné funkce u(x,y) = x2 - y2, a v(x,y) = 2xy.
(stačí si rozepsat z = x + iy a provést naznačené umocnění)
Když takové dvě funkce „slepíme“ dohromady, dostaneme reálný ekvivalent komplexní funkce, tedy funkci F z R2 do R2 (má dva reálné vstupy a dva reálné výstupy), která funguje takto:
F: {x,y} --> {x2 - y2,2xy}
(Na té pravé straně bychom pochopitelně mohli zkusit i jiné mocniny proměnných x, y, třeba s nějakými náhodně zvolenými koeficienty, a pořád bychom dostali reálnou funkci z roviny do roviny - ovšem zdaleka ne každá taková nahodilá změť x a y se dá přetavit v komplexní funkci. V sekci Jauvajs se zmíním, za jakých okolností by se z takové reálné spatlaniny dala vytvořit komplexní funkce)
Když studenti technických oborů vidí reálnou verzi komplexní funkce, nasadí většinou znuděné výrazy a začnou nespokojeně reptat: „Ale tyhle funkce my přece známe, ty umíme derivovat už z diferenciálního počtu více proměnných a všechny jejich vlastnosti máme v malíčku... Nemohli bychom jít raději do hospody?“
No, nemohli.
V dnešním článku se vám pokusím ukázat, že komplexní funkce mají spoustu vlastností, o kterých se reálným funkcím ani nesní. A může za to pan Íčko. Zatímco z pohledu reálných funkcí se rovina skládá ze dvou nezávislých kopií číselné osy a na její bodíky se díváme jako na vektory, v komplexní analýze jsou obě osy propojeny algebraickou vazbou komplexních čísel a na bodíky pohlížíme jako na skaláry. A ty představují daleko kompaktnější a ucelenější strukturu. Aby komplexní funkce na té struktuře mohly nějak slušně vyžít, například mít derivaci, jejich chování musí být podstatně uspořádanější než chování jejich reálných protějšků.
(celá příští sekce je poměrně technická, a pokud chcete získat jen jakous takous představu, o čem je dnes řeč, můžete ji přeskočit)
+++++++++
Komplexní derivace
Nejprve malá rekapitulace reálné derivace.
Představme si, že v čase t = 0 vyšleme z bodu A autíčko, které po čase dojede do bodu B.
Průměrnou rychlost mezi naznačenými kontrolními body (vpravo) spočítáme tak, že přírůstek dráhy vydělíme přírůstkem času. Z matematického pohledu de facto počítáme směrnici vytečkované sečny.
Často ale potřebujeme znát aktuální rychlost (tedy tu na tachometru) a tu získáme tak, že kontrolní bod B přiblížíme „infinitesimálně blízko“ k bodu A. V něm se modrá sečna promění v červenou tečnu a její směrnice pak udává aktuální rychlost v bodu A (a protože derivace není nic jiného než směrnice tečny, říkáme, že rychlost je derivace dráhy podle času).
Derivace funkce v daném bodě tedy ukazuje aktuální rychlost změny naší funkce, tj. aktuální (okamžitý) nárůst závisle proměnné (y) v poměru k nárůstu nezávisle proměnné (x). Je to vlastnost čistě lokální a závisí pouze na chování funkce v nejbližším okolí daného bodu (stejně jako momentální rychlost vašeho auta).
Abychom pochopili komplexní derivaci, zkusíme se teď na derivaci podívat jinak.
Na grafu dané (prozatím reálné) funkce si označíme jeden pevně zvolený bod A = {x0,y0} a začneme zkoumat chování funkce v jeho okolí. Za tím účelem hodnotu nezávisle proměnné trochu „šoupneme“ (do obecného bodu x) a zjistíme, že hodnota závisle proměnné se po tomto zásahu posunula do bodu y.
To, co nás zajímá, je vztah mezi x-ovým přírůstkem dx (zeleně) a y-ovým přírůstkem Dy (fialově) v okolí daného bodu.
Bohužel pro většinu funkcí je takový vztah stejně komplikovaný jako funkce sama - nehledě na to, že abychom nárůst Dy spočítali, museli bychom znovu vyčíslit naši funkci.
Naštěstí si ale nějací koumesové v minulosti povšimli (a na tom v podstatě stojí diferenciální počet), že pokud se omezíme na malé změny dx, můžeme funkční křivku (v modrém) nahradit tečnou (v červeném) a spočítat její nárůst dy, což je podstatně jednodušší úloha.
Mezi dx a dy existuje lineární vztah a to znamená, že tyto dva přírůstky jsou v okolí zvoleného bodu x0 proporcionální, přičemž konstantou úměrnosti je právě hodnota derivace f'(x).
Je-li její hodnota v našem bodě rovna f'(x0) = 2, znamená to, že každý rozumně malý nárůst dx vstupní hodnoty vyvolá na výstupu proporcionální nárůst velikosti dy = 2*dx.
Všimněte si, že jsme tím krásně popsali lokální chování naší funkce a pro výpočet y-ového přírůstku už vůbec nemusíme vyčíslovat hodnotu funkce. Prostě jenom dx pronásobíme derivací a hned víme, jaké bude dy (tj. o kolik se zhruba posune y). Samozřejmě čím menší přírůstky jsou, tím je tento fígl přesnější - proto se této habaďůře také říká infinitesimální počet (týká se veličin, které si představujeme jako „nekonečně malé“).
Takto si také vytvoříme naši první aproximaci lokálního chování funkce. Zafixujeme si bod x0 a druhý bod x necháme volně pobíhat po jeho okolí:
f(x) = y ~ y* = f(x0) + dy = f(x0) + f'(x0) * dx = f(x0) + f'(x0) * (x-x0)
„Vlnovka“ ~ zde znamená přibližnou rovnost (y* jsme totiž dostali tečným přírůstkem, a nikoliv funkčním - je tam tedy malá chybka - rozdíl mezi červenou a fialovou šipkou).
Mimochodem, tímto způsobem se funkce rozvine v mocninnou řadu. Napravo se prostě přidávají další členy s vyššími derivacemi, které postupně „vlnovku“ zpřesňují a zpřesňují, až výsledně dostaneme rovnost (pro nekonečně mnoho členů napravo). Takhle formulka bude vypadat, přidáme-li druhou derivaci f'' (tedy derivaci první derivace):
f(x) ~ f(x0) + f'(x0) * (x-x0) + f''(x0) * (x-x0)2 / 2 + ...
Rozvoj v takovouto mocninnou řadu si můžete udělat kolem libovolného bodu x0. V praxi se ale většinou používají rozvoje kolem bodu 0, což je to, čemu jsem v minulosti říkal nekonečné polynomy (přesněji Maclaurinovy řady). Ovšem už přidání kvadratického členu napravo není nic jednoduchého, takže hlouběji se v tom zatím šťourat nebudu.
+++++++++
Na komplexní derivaci se můžeme také dívat optikou „přírůstků“ (viz obrázek níže). Jen budeme proměnným v souladu s konvencí říkat z a w místo x a y. Hodnotu f'(z0) si tedy představíme jako (komplexní) číslo, které má tu vlastnost, že když s ním pronásobíme přírůstek nezávisle proměnné z, dostaneme nejpřesnější aproximaci přírůstku závisle proměnné w.
Opět si zafixujeme nějakou pevnou vstupní hodnotu z0 a trochu ji „šoupneme“ o hodnotu dz, čímž se dostaneme do bodu z. Zajímá nás, jak se takové „šoupnutí“ projeví na výstupu w0 = f(z0). A máme opět dvě možnosti. Buď si to spočítáme přesně pomocí funkční hodnoty, tj. zobrazíme ten „šoupnutý“ bod z přímo do bodu w = f(z) a odečtením získáme hodnotu přírůstku Dw = w-w0, a nebo použijeme derivaci v bodě z0 a posuneme výstup w0 pouze o hodnotu dw = f'(z0)*dz. Tak se dostaneme do „přibližného“ bodu w* = w0+dw = f(z0) + f'(z0)*dz. Pokud máte derivaci spočítanou správně a šoupnutí dz není moc velké, měli byste s bodem w* přistát někde poblíž w.
Všimněte si, že k výpočtu přibližného bodu w* vůbec nepotřebujete funkční hodnotu (pouze vynásobíte přírůstek dz komplexní derivací a přičtete k w0), takže můžete poměrně rychle získat představu o lokálním chování funkce f(z) v okolí bodu z0 jenom ze znalosti čísla f'(z0).
Formálně má většina komplexních funkcí stejnou derivaci jako odpovídající funkce reálné, takže s výpočtem není problém - například funkce f(z) = z2 má derivaci f'(z) = 2z.
+++++++++
Aby do obrázku bylo lépe vidět, udělejme si malý příklad, jak komplexní přírůstky vlastně fungují.
Vezmeme si již zmíněnou funkci f(z) = z2 a budeme zkoumat její chování v okolí komplexního čísla z0 = 2+i. Přímým dosazením zjistíme, že naše funkce ho zobrazí do bodu w0 = f(z0) = f(2+i) = 3+4i. A teď si vezmeme malý přírůstek dz = -0.3+0.2i, který nás dopraví do bodu z = z0+dz = 1.7+1.2i . Na výstupu se náš bod w0 přesune do odpovídajícího bodu w = f(z) = f(1.7+1.2i) = 1.45+4.08i . No a odečtením dostaneme výsledný nárůst proměnné w jako Dw = w-w0 = -1.55+0.08i .
My ale nechceme pro každý přírůstek dz pracně vyčíslovat funkční hodnotu v tom „šoupnutém“ bodě z. My chceme ten odpovídající nárůst proměnné w dostat hned z dz pomocí derivace (byť jen přibližně). Tu stačí vyčíslit jen jednou a příslušné komplexní číslo f'(z0) pak funguje pro libovolný přírůstek dz.
dw = f'(z0) * dz
Nuže derivace f'(z) = 2z a dosazením z0 dostaneme f'(z0)=2(2+i) = 4+2i. Takže pro přírůstek dw „podél tečny“ nám vyjde
dw = (4+2i)*(-0.3+0.2i) = -1.6 + 0.2i
a to není moc daleko od výše uvedené přesné hodnoty Dw.
A když posunutí dw přidáme k hodnotě w0, získáme poměrně solidní aproximaci bodu w, aniž bychom museli znovu vyčíslovat funkci f(z).
w ~ w* = w0 + dw = 3+4i + (-1.6 + 0.2i) = 1.4 + 4.2i
Takže shrnuto a podtrženo - komplexní derivace je číslo, které nám - stejně jako v reálném případě - udává poměr mezi změnou vstupní hodnoty dz a výstupní hodnoty dw. Pokud se takové číslo dá najít v každém bodě z0, říkáme, že naše komplexní funkce je holomorfní (a žádné jiné v tomto článku ani uvažovat nebudu).
+++++++++
Komplexní derivace má pro pochopení chování funkce v okolí bodu z0 klíčový význam. V jednom čísle je zakódováno chování milionů funkčních hodnot z nejbližšího okolí bodu z0 (!).
Abychom do věci lépe viděli, napišme si ji v polárních souřadnicích f'(z0) = r*exp(it):
dw = f'(z0)*dz = r*exp(it)*dz
Když to budu číst zprava, tak mi rovnice říká, že abych dostal přibližný přírůstek dw, tak musím vzít přírůstek dz a vynásobit ho nejprve komplexním číslem exp(it) a potom reálným číslem r. Připomeňme si, co s ním tato čísla provedou:
dz --> exp(it)*dz [toto ho pootočí kolem počátku o úhel t]
dz --> r*dz [toto ho „natáhne“ o faktor r - de facto změna měřítka]
(můžete si to zkusit pro nějaké konkrétní hodnoty, třeba t = π/3, r = 2 a dz = 0.1+0.2i)
Když ty formulky teď přeložím do běžné češtiny, znamená to, že komplexní funkce se lokálně chovají jako pootočení následované rovnoměrným roztáhnutím. V tom předchozím příkladu (kurzívou) se dá lokální chování v okolí bodu z0 popsat tak, že daná funkce okolí popadne, dvakrát ho přifoukne, pootočí o 60 stupňů a vlípne do bodu w0. Takto si jedním vrzem „osaháte“ lokální akci vaší funkce f(z). Schematicky je to vyznačeno na dalším obrázku.
Všimněte si, že jak rovnoměrné roztáhnutí („nafouknutí roviny“), tak pootočení zachovává úhly a to znamená, že pokud se dvě křivky ve vstupní rovině (ty šedé) protínají pod nějakým úhlem, na výstupu se budou protínat pod úhlem přesně stejným. Komplexní funkce s nenulovou derivací zachovávají úhly. Takovým zobrazením říkáme konformní a používají se např. v kvantové fyzice. Reálné funkce z roviny do roviny obecně tuto vlastnost postrádají a úhly zhusta deformují (tj. dvě křivky mohou mít na vstupu úhel 60° a na výstupu třeba 38° - hanba!). K takovéto politováníhodné události dochází v komplexní rovině pouze, je-li derivace f'(z) = 0. Jinak jsou úhly vždy zachovány.
A to je také první náznak toho, že komplexní funkce nejsou nějaké nahrubo otesané nástroje, ale že jsou to naopak precizně seřízené mašinky.
+++++++++
Rovnice pro vedení tepla
Pochopit komplexní funkce - tedy jak vypadají a jak se chovají - nebyla nikdy snadná záležitost. Naštěstí pro nás, tápající amatéry i profesionály, se z hájemství fyziky vynořil nečekaný spojenec: rovnice pro vedení tepla. Určitě si ze základní školy pamatujete na experiment, kdy učitel zahřeje měděný drát nad hořícím kahánkem a k překvapení žactva vyjde najevo, že i v části daleko od plamene se teplota drátu postupně zvýšila. Teplo totiž dokáže proudit z jednoho místa na druhé.
Rovnice pro vedení tepla kvantitativně popisuje, jakým způsobem se teplo rozvádí určitým prostředím. Je to poměrně komplikovaná parciální diferenciální rovnice, která ukazuje, jak se počáteční teplotní profil mění s časem. Nebudu vás děsit technickými podrobnostmi, ale odvolám se na praktickou zkušenost a selský rozum.
Teplo zpočátku proudí z teplejších míst do studenějších, ale po určité době dojde k vyrovnání rozdílů a nalezení ustáleného teplotního profilu (ekvilibria), které už se dále nevyvíjí. To ekvilibrium nemusí být nutně konstantní (závisí to na tzv. okrajových podmínkách). Pokud například jednu část drátu zahříváme a druhou ochlazujeme, po dosažení ekvilibria bude teplota v drátu stoupat od studenější části k teplejší lineárně, tak jak je znázorněno na dalším obrázku (počáteční teplotní profil jsem zvolil náhodně - drát je v některých místech studenější, v některých teplejší - ale nakonec tak či onak dojde k tomu výslednému ustálenému stavu).
Samozřejmě k vedení tepla dochází i ve dvou či ve třech dimenzích. Položte rozpálenou žehličku na kus plechu a zjistíte, že jeho teplota se zvýší i v místech, kde žehlička nestojí. Přenos tepla ve vyšších dimenzích se řídí v podstatě stejnou rovnicí a stejně jako v jednodimenzionálním případě vede k dosažení teplotního ekvilibria (ustáleného stavu).
Pokud necháte zapnutou žehličku na kusu plechu a odejdete na oběd, po návratu pravděpodobně zjistíte, že teplota plechu už se nemění - nejvyšší je přímo pod žehličkou a směrem od ní postupně klesá. Pro lepší představu jak takové vedení tepla vypadá, se můžete podívat na video zde a nebo zde (na prvním videu si všimněte, jak tepelná konvekce okamžitě „vyhlazuje“ jakékoliv lokální extrémy).
Z pohledu matematiky jsou ustálené teplotní profily reprezentovány (reálnými) tzv. harmonickými funkcemi. Ty sice v jedné proměnné odpovídají pouze lineárním funkcím, ale ve vícerozměrném případě mají velmi zajímavé vlastnosti.
A proč vám to říkám? No protože se ukázalo, že když rozdělíme komplexní (holomorfní) funkci na reálnou a imaginární část (tak jako jsem to udělal v úvodu), tak ty dvě funkce, které takto dostaneme, jsou obě harmonické - tedy reprezentují ustálené teplotní profily. Například funkce u(x,y) a v(x,y) z úvodu jsou obě harmonické, a pokud si osu z představíte jako teplotu, můžete si to i fyzikálně interpretovat.
Přesněji: vyříznete-li si z komplexní roviny „kus plechu“ a na něm definujete teplotní profil jako reálnou nebo imaginární část libovolné komplexní holomorfní funkce f(z), pak se váš plech bude nacházet v termálně ustáleném stavu a teplota se v něm už nebude dále měnit (za předpokladu, že kraje toho plechu budete držet na teplotě, kterou mají „předepsanou“ funkcí f(z) - aby do něj nepřitékalo teplo zvenčí).
To, že komplexní (holomorfní) funkce, jsou v podstatě složené ze dvou harmonických, vede k tomu, že mají celou řadu překvapivých - až kouzelných - vlastností, které obecně definované reálné funkce nemají ani náhodou. Jako příklad se podíváme na tři vlastnosti.
1. Komplexní funkce nemají lokální maxima či minima, to znamená, že na jejich grafech nenajdete žádný „Říp“ ani „propast Macochu“. Z pohledu termodynamiky je to celkem pochopitelné. Uvnitř jejich definičního oboru se nemůže jen tak pro nic za nic kumulovat teplo. Nebo přesněji: pokud si vezmete komplexní funkci f(z) na nějaké oblasti P, pak je maxima absolutní hodnoty |f(z)| dosaženo vždy na hranici uvedené oblasti, nikoliv uvnitř (ještě přesnější formulace je zde). Reálné funkce takovouto vlastnost obecně nemají. Například reálná funkce u(x,y) = -x2-y2 má krásné lokální (i globální) maximum v bodě {0,0}. Taky to ale v žádném případě není funkce harmonická a nenajdete žádnou komplexní funkci, jejíž reálná či imaginární složka by se s ní shodovala.
2. Komplexní funkce jsou zprůměrované v následujícím smyslu. Vezměme si nějakou funkci f(z) a kružnici se středem bodě z0. Pak hodnota funkce f(z) v tomto bodě - tedy f(z0) - se přesně rovná průměrné hodnotě té funkce na dané kružnici. A to platí pro jakýkoliv bod a jakoukoliv kružnici se středem v tom bodě. Pro reálné funkce nic takového samozřejmě neplatí. Ty mohou mít v bodě {x0,y0} jednu hodnotu a průměr přes kružnici úplně jiný - viz výše zmíněná funkce u(x,y) = -x2-y2 v bodě {0,0}. Ta je na každé kružnici se středem v počátku záporná (a dokonce konstantní), zatímco v počátku samotném je nulová.
3. Komplexní funkce v libovolné oblasti se dají úplně zrekonstruovat z jejich hodnot na hranici (!). Představme si opět kus komplexní roviny jako plech s tím, že vám řeknu, jakou hodnotu má moje funkce na okraji toho plechu. Vy si z těchto „hraničních“ hodnot pak dokážete dopočítat jakoukoliv hodnotu té funkce uvnitř plechu (přesnější formulace zde). Z pohledu termodynamiky to opět není nic překvapivého. Pokud ten plech držíte na hranici v nějakém tepelně konstantním režimu (jeden okraj třeba nahříváte svíčkou a druhý chladíte ledem), tak pro tuto konfiguraci bude existovat pouze jeden ustálený teplotní profil a právě ten reprezentuje jednoznačně určené hodnoty naší funkce uvnitř plechu. Reálné funkce tuto vlastnost opět nemají, ty si pro dané hraniční hodnoty můžete uvnitř klidně promasírovat a pozměnit k obrazu svému. U komplexních vám masáž neprojde, protože byste tím zničili poměrně křehkou architekturu komplexních derivací.
To, co byste si z této sekce měli odnést, je, že komplexní funkce jsou velice rigidní a „neohebné“ útvary, jejichž vnitřní struktura je velmi těsně provázaná. Může za to samozřejmě komplexní derivace, která na danou funkci klade podstatně vyšší nároky. Reálná derivace v podstatě říká, jak se funkce má chovat vpravo a vlevo. Komplexní derivace určuje její chování v nekonečně mnoha směrech a navíc tak, aby se výsledně jednalo o pootočení a rovnoměrné roztáhnutí (žádné deformace nejsou přípustné).
+++++++++
Analytické pokračování
U psychologických testů se občas setkáte s úlohou doplnit číslo do dané posloupnosti. To znamená, že musíte nejprve posloupnost podrobit analýze, vykoumat, jak se chová, a pak toto chování přirozeně prodloužit. Např.
1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (doplníme 64 - mocniny dvojky)
1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ... (doplníme 1 - opakující se vzorec)
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... (doplníme 31 - aritmetická posloupnost)
Samozřejmě při tom chceme, aby prodloužení bylo jednoznačné (abychom předešli hádání se s porotou u vyhodnocení). Např. posloupnost 3, 5, 7... se dá rozšířit číslem 9 (lichá čísla) nebo 11 (posloupnost lichých prvočísel). Takovou bychom asi v testu nechtěli.
Když se podíváte na graf nějaké reálné funkce (třeba té červené na obrázku níže), můžete si ji představit jako posloupnost bodíků a zeptat se, zda existuje nějaké přirozené (a jednoznačné) rozšíření té funkce, které zachová všechny tendence, které její chování zatím projevilo.
Samozřejmě při tom rozšíření požadujeme, aby výsledná funkce byla hladká - tj. aby neměnila směr skokově (technicky: aby měla spojitou derivaci). Na základě požadavku hladkosti můžeme okamžitě vyloučit zelené pokračování. Takto si „přirozené rozšíření“ funkce asi nikdo nepředstavuje.
Ovšem vybrat si mezi světle a tmavě modrým rozšířením je problém. V obou případech přejdeme z červené křivky do modré zcela hladce a bez jediného „drcnutí“. Z toho je vidět, že u reálných funkcí požadavek hladkosti nestačí k tomu, abychom dokázali funkci jednoznačně rozšířit (tedy „prodloužit“ její definiční obor). Dokonce se dá ukázat, že ani u reálných funkcí, které jsou nekonečně hladké (tj. mají spojité derivace všech řádů) to obecně nemusí vyjít, protože mocninné řady - které se při rozšíření používají - jsou v reálném případě trochu tvrdohlavé (podrobnosti zde).
To komplexní funkce jsou při rozšiřování jinačí kabrňáci. U nich požadavek hladkosti bohatě stačí k tomu, aby měly jednoznačně definované pokračování (a to se často používá pro zkoumání funkčních hodnot mimo oblast jejich přirozené matematické nebo fyzikální definice). Takže pokud někde v popelnici najdete pohozený kus komplexní funkce, doma si ji můžete kompletně zrekonstruovat a budete mít jistotu, že vám vyjde přesně ta původní (protože to rozšíření je jednoznačné). Je to tak trochu, jako kdybyste v lese našli ocásek ještěrky a z něj si dokázali „doklonovat“ celou ještěrku.
Jak rekonstrukce probíhá, vidíme na dalším obrázku.
Představme si, že máme komplexní funkci definovanou na šedém pětiúhelníku uprostřed. Nejprve funkci rozvineme v mocninnou řadu kolem nějakého vnitřního bodu z0. Součet této řady nám pak definuje hledané rozšíření. Jenom při tom musíme dávat pozor na póly naší funkce (tj. body, kde má funkce nekonečnou hodnotu - na obrázku třeba bod p). V nich totiž mocninná řada nemusí konvergovat. To se ale dá obejít (viz obrázek) tím, že si někde uvnitř toho zeleného kruhu, kde mocninná řada ještě stále konverguje, zvolíme jiný bod z1 a funkci kolem toho nového bodu rozvineme v další mocninnou řadu (a opět musíme dávat pozor na to, abychom se vyhnuli pólu). Takto si postupně krůček po krůčku celou funkci opatrně zrekonstruujeme.
Že je něco takového možné, je opět dáno tím, že existence komplexní derivace klade na funkci velmi přísné podmínky. Hladkou reálnou funkci - tedy tu červenou křivku na předchozím obrázku - vám na tabuli nakreslí prakticky každé dítě, které umí udělat zvlněnou „čáru“. Není to nic těžkého. Prostě mu vysvětlíte, že na křivce nechcete vidět žádné „zuby“ a máte hladkou funkci doma. Oproti tomu hladkou komplexní funkci jen tak „z ruky“ nenakreslíte. Ta je tou svou derivací (tedy tím, že lokálně vypadá jako pootočení a roztáhnutí) příliš sešněrovaná a má příliš mnoho vnitřních vazeb. Ale právě díky nim se dá jednoznačně rozšířit, obvykle do celé komplexní roviny. A to je ten malý zázrak, kterému říkáme analytické pokračování.
+++++++++
Sekce jauvajs: Komplexní derivace podruhé
pouze pro mimořádně otrlé povahy
Na samém začátku jsem vzal komplexní funkci f(z) a obratem ruky (přesněji rozepsáním proměnné z na reálnou a imaginární složku) z ní udělal dvě funkce reálné, u(x,y) a v(x,y).
Otázkou zůstává, zda se z každé dvojice reálných funkcí u(x,y) a v(x,y) dá „slepením“ vytvořit funkce komplexní. Když si tedy spatlám nějakou funkci z roviny do roviny (tj. dva vstupy a dva výstupy), řekněme
G: {x,y} --> {x2-y3,3xy2+y} = {u(x,y),v(x,y)}
mohu ji považovat za komplexní funkci s komplexní derivací a se všemi těmi krásnými výše zmíněnými vlastnostmi, které z její existence vyplývají?
Odpověď je - jak asi tušíte - že zdaleka ne vždycky.
Aby to bylo jasnější, podíváme se na derivaci trochu obecnějším pohledem.
Zatím to pro nás bylo číslo č, kterým bylo nutno pronásobit přírůstek nezávisle proměnné dz, abychom dostali přírůstek závisle proměnné dw. Z pohledu vyšší matematiky je ale lepší se na derivaci funkce G v daném bodě z0 (o souřadnicích {x0,y0}) dívat jako na lineární zobrazení, které převádí přírůstek nezávisle proměnných {dx,dy} na ten „přibližný“ (ve smyslu tečny) přírůstek závisle proměnných {du,dv} (samozřejmě, pokud je proměnná pouze jedna - ať reálná či komplexní - pak je lineární zobrazení dáno předpisem x --> č*x a máme starou definici derivace).
Pro funkce více proměnných je takové lineární zobrazení (které derivace v bodě reprezentuje) určeno tzv. Jacobiho maticí J a ten převod přírůstků pak probíhá podle platných zákonů násobení matice a vektoru:
{du,dv} = J.{dx,dy}
kde J je matice parciálních derivací funkcí u a v, která je ve zkrácené notaci zobrazena na obrázku (1). A protože v textu by se mi s těmi znaky pro parciální derivace těžko zápasilo, budu níže používat symbolickou notaci (2) - tj. ux bude parciální derivace funkce u podle proměnné x atd.
Abychom zjistili, jak naše funkce G převádí {dx,dy} na {du,dv} v okolí nějakého konkrétního bodu {x0,y0}, musíme ten bod nejprve dosadit do Jacobiho matice (tj. do všech parciálních derivací), a tím dostaneme normální číselnou matici (3), kde a, b, c, d jsou obecně 4 různá reálná čísla. Taková obecná matice může pochopitelně malé okolí daného bodu při přenosu různě deformovat.
A teď přijde důležité pozorování.
Výše jsme viděli, že komplexní funkce se lokálně chovají jako pootočení a „rovnoměrné roztáhnutí“ (definované faktorem r). Rotační matice pro otočení v rovině o úhel t má známou formu) (5).
Všimněte si, že členy na hlavní diagonále jsou stejné, zatímco ty na postranní mají opačné znaménko - a to se nezmění ani poté, co celou rotační matici pronásobíme číslem r (abychom do ní zahrnuli i to roztáhnutí). Tím se matice (5) převede na výsledný tvar (4), který v sobě zahrnuje obě operace.
Vyčíslená Jacobiho matice (3) se tedy bude chovat jako komplexní derivace pouze v případě, že d=a a c=-b, a to v každém bodě.
Jinými slovy, Jacobiho matice musí mít v každém bodě formu (4). Jejím porovnáním s rovnicí (2) pak dostaneme, že parciální derivace našich funkcí u a v musí splňovat ux = vy a uy = -vx. A to je víceméně vše, co potřebujeme (až na nějaké technické drobnosti), abychom z reálných funkcí vytřískali funkce holomorfní.
Těmto podmínkám se říká Cauchyho-Riemannovy podmínky a můžete si sami ověřit, že funkce F z úvodu je splňuje (a dá se proto chápat jako komplexní holomorfní funkce), zatímco funkce G z této sekce je nesplňuje a komplexní funkci z ní tedy neuděláme, ani kdybychom se rozkrájeli.
Mimochodem to, že reálná i imaginární část komplexní funkce musí být harmonická, se z těchto podmínek dá přímo odvodit.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru
iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora.
Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
