Iracionální číslo π má zcela zvláštní postavení na rozhraní matematiky a fyziky, kde často funguje jako bezpečný most. Jeho historie i současnost určitě stojí za zamyšlení. Otázka, co je to čas, asi bude většině z vás připadat poněkud nemístná, vždyť čas všichni důvěrně známe z běžného života, hlavně když nám pořád chybí. Ale z fyzikálního hlediska to není zdaleka tak jednoduché. A nakonec zase jednou grafen. O tomto zázračném materiálu se už ví hodně, ale o tom, že by sám uměl chodit na procházku, se doteď nikdo nezmínil.

Ludolph van Ceulen určil číslo π s přesností na 35 desetinných míst

Magické číslo „π“

Američtí fyzici našli souvislost mezi 400 let starým vzorcem pro výpočet π a kvantově mechanickým popisem energetických stavů vodíkového atomu.

Číslo π je zvláštní, a to ať už z pohledu historického, nebo z pohledu jeho role v moderní fyzice. Je to iracionální číslo, takže ho nelze vyjádřit konečným způsobem v desítkové soustavě, a je to také číslo transcendentní, takže nemůže být vyjádřeno konečně dlouhou řadou algebraických operací s celými čísly. Hodnota π je 3,14…, dnes je známo už pět bilionů číslic za desetinnou čárkou. Pro praktické účely se používá desetinných míst mnohem méně, 11 jich například stačí pro odhad délky kružnice velikosti Země a 39 desetinných míst stačí pro jakoukoliv představitelnou aplikaci.

Číslu π se říká Ludolfovo číslo po Ludolfovi van Ceulenovi, nebo také Archimedova konstanta po Archimedovi ze Syrakús. Magické číslo má neméně magickou historii. Velká pyramida v Gize, postavená dvě a půl tisíciletí před naším letopočtem, má obvod 1 760 loktů a výšku 280 loktů, poměr těchto dvou veličin je 2π. Egyptologové většinou tvrdí, že i když Egypťané neuměli přesně určit hodnotu π, uměli ho používat. Nejstarší dochované písemné odhady pocházejí z let kolem 1900 př. n. l. Z Egypta pochází hodnota 256/81 a z Babylonu 25/8. Obě se o méně než jedno procento odlišují od skutečné hodnoty π. Prvním, kdo se důsledně zabýval odhadem velikosti tohoto čísla, byl Archimedes. Vycházel z toho, že hodnota může být určena shora i zespoda vepsáním a opsáním pravidelných mnohoúhelníků do kružnice a vypočtením jejich obvodů. Použil 96úhelníky a dokázal, že 223/71 < π < 220/70. Průměr těchto hodnot je zhruba 3,14185. Hodnotu, která zůstala v platnosti dalších 900 let, odvodil čínský matematik Cu Čchung-č‘, který použil 12288úhelník.

Ve 12. století prohlásil Maimonides, že číslo π je iracionální, dokázal to ale až v roce 1761 matematik Lambert. Výrazný pokrok v odhadování hodnoty tohoto zvláštního čísla přišel s vývojem nekonečných řad a diferenciálního a integrálního počtu. Počátkem 17. století se v Evropě začala vyvíjet metoda nekonečných řad. Takové vyjádření nabízely nekonečné součiny, z nichž je snad nejznámější součin Johanna Wallise z roku 1655:

π/2 = 4/3.16/15.36/35.64/63…..

a právě toho se týká příběh o tom, jak se číslo π vynořilo při řešení Bohrova modelu vodíkového atomu. Jak k tomu došlo?

Profesora fyziky Carla Hagena z univerzity v Rochesteru teorie vodíkového atomu už dlouho fascinovala. Zadal ho jako domácí cvičení studentům kvantové mechaniky. Bohrův model vodíkového atomu aproximuje atom jako elektron, který po kruhových drahách obíhá kladně nabitý proton. I když není Bohrův model přesným popisem atomu, je pro mnoho reálných situací dostatečně přesný. Zvlášť vhodný je při studiu fyziky, protože to je jeden z mála systémů, které se dají řešit analyticky pomocí Schrödingerovy rovnice. To znamená, že může být řešen exaktně, aniž by se používaly různé aproximace nebo počítačové programy.

Jenže Hagen zadal místo takového řešení problému Bohrova modelu použití „variačního principu“, což je technika, která používá aproximace kvantově-mechanických systémů, které se nedají řešit přímo pomocí Schrödingerovy rovnice. Technika vyžaduje vytvoření kvalifikovaného odhadu vlnových funkcí a následné zpřesňování tohoto odhadu. Ukázalo se, že s tím, jak roste orbitální úhlový moment atomu (moment setrvačnosti vzhledem k ose), dovolené energie atomu se postupně přibližují a nakonec se vyrovnávají s analyticky vypočítanými hodnotami energie pro vodíkový atom. Hagen zjistil, že chyba při „variačním“ přístupu byla kolem 15 % pro základní stavy vodíku, 10 % pro první excitovaný stav a dále klesala pro vyšší excitované stavy. To ale bylo velice neobvyklé, protože variační přístup normálně dává nejpřesnější výsledky pro aproximace nejnižších energetických stavů.

Hagen se obrátil na svého kolegu, profesora matematiky Friedmana, který zjistil, že by mohli využít Wallisův vzorec pro výpočet čísla π vytvořený z poměrů aproximativních a exaktních velikostí energií, a to je velice neočekávané. Vzorec starý několik století, který byl odvozen za zcela jiných podmínek, je ukryt v základním kvantově mechanickém problému. Wallisův vzorec pochází z roku 1665 a byl publikován v jeho knize Arithmetica infinitorum.

Wallis pochopitelně neměl žádné tušení o vodíkovém atomu, protože tehdy o atomech nevěděl nikdo nic. Od roku 1913, kdy Bohr vypracoval svůj model vodíkového atomu, bylo dost času, aby si souvislosti s Wallisovou formulí někdo všiml, jenže dvojice Hagen–Friedman je pravděpodobně první. Významnou roli v tom zřejmě hrají jejich hluboké interdisciplinární znalosti. Jejich objev napovídá, že i ve zdánlivě dobře prostudovaných systémech se může skrývat více podobných základních matematických formulí.

Fyzici nejsou překvapeni tím, že se zde objevilo číslo π. Vyskytuje se totiž „skoro všude“. I když nejznámější je v poměru obvodu kruhu k jeho průměru, dají se citovat třeba příklady ze studia počtu pravděpodobnosti. Buffonova jehla je úloha, díky které je možno empiricky odhadnout hodnotu π. I když se nejedná o fyzikální konstantu, příkladů, kde se π vyskytuje, je velice mnoho. Snad nejmarkantnější je to v rovnicích periodických jevů. Je to proto, že fáze jedné periody se tradičně pokládá rovna 2π, aby byla zajištěna korespondence průmětu rovnoměrného pohybu po kružnici do jedné osy souřadně s harmonickým kmitavým pohybem.

Je jasné, že fyzikální problémy inspirují neustále vznik nových problémů v matematice a naopak. Matematika je řeč popisující fyziku a studium jedné z nich vždy obohacuje tu druhou.

Fyzici zkoumají šipku času

Mezinárodní tým fyziků měřil stav neuspořádanosti neboli entropii mikroskopického kvantového systému. Doufali, že tento počin alespoň trochu objasní smysl „šipky času“ – to je poznatek, že čas míří neustále dopředu, do budoucnosti. Experiment spočíval v převracení spinu atomů uhlíku v důsledku oscilací magnetického pole a přiřazuje šipku času kvantovým fluktuacím mezi jednotlivými spinovými stavy atomů.

Šipka času je něco, co způsobuje, že si pamatujeme včerejšek a nikoli zítřek. Na zcela elementární úrovni mohou kvantové fluktuace způsobit asymetrii času. Šipku času bereme v běžném životě jako samozřejmost. Například často vidíme rozbité vejce, ale nikdy nepozorujeme, že by žloutek, bílek a rozbitá skořápka tvořily opět celé vajíčko. I když se zdá, že přírodní zákony nejsou reversibilní, v současné fyzice není nic, co by toto tvrzení obsahovalo. Dynamická rovnice, popisující rozbíjení vejce, funguje v obou směrech.

Význam šipky času nám ale poskytuje fyzikální veličina zvaná entropie. Pojem entropie zavedl v roce 1865 německý fyzik Rudolf Clausius. Slovo pochází z řeckého výrazu pro změnu formy, umožňuje sledovat míru nevratnosti určitého děje. Entropie může při změnách izolovaných systémů pouze zůstat stejná nebo růst. Může nám to do jisté míry objasnit příklad z běžného života. Většina vajec vypadá stejně, zatímco rozbité vajíčko může mít mnoho forem. Může být nakřápnuté, zamíchané, rozpláclé na podlaze a tak dále. Rozbité vejce představuje neuspořádaný stav, to znamená stav s větší entropií. A protože je daleko více neuspořádaných stavů než stavů uspořádaných, je pro daný systém daleko pravděpodobnější, že bude směřovat spíše k neuspořádanému než k uspořádanému stavu.

Pravděpodobnostní zdůvodnění obsahuje druhý termodynamický zákon, podle něhož entropie uzavřeného systému neustále s časem roste. Podle tohoto zákona se čas nemůže náhle obrátit, protože to by vyžadovalo snížení entropie. To je přesvědčivý argument pro komplexní systém tvořený mnoha interagujícími částicemi, jako je třeba naše vejce. Jenže jak je to v systému tvořeném pouze jednou jedinou částicí?

Tým fyziků začal pátrat v tomto temném teritoriu měřením entropie v souboru atomů uhlíku-13, obsažených ve vzorku kapalného chloroformu. I když vzorek obsahoval bilion molekul chloroformu, kvantové vlastnosti molekul, které zabraňují interakci, způsobily, že experiment byl ekvivalentní provedení stejného měření na jednom atomu uhlíku bilionkrát za sebou.

Experiment spočíval v tom, že se na vzorek přiložilo oscilující magnetické pole, které nepřetržitě obracelo spin atomů uhlíku mezi stavem nahoru a dolů. Intenzita pole se napřed zvyšovala tak, aby se zvýšila frekvence přeskakování spinových stavů, a pak opět klesla na původní úroveň.

A co bylo zjištěno? Systém byl reversibilní, a tak by celkové rozdělení spinových stavů uhlíkových atomů mělo být stejné jako na začátku experimentu. Jenže použitím nukleární magnetické rezonance a tomografie kvantových stavů naměřili růst neuspořádání mezi konečnými spiny. V důsledku kvantové povahy systému to znamenalo ekvivalent růstu entropie v jednotlivých atomech uhlíku.

Podle výsledků tohoto experimentu roste entropie jednotlivých atomů v důsledku rychlosti, kterou se fyzici snažili měnit směr spinu. Atom, který není schopen sledovat oscilace pole, začne náhodně fluktuovat, stejně jako nezkušený tanečník nestačí sledovat rychlý rytmus hudby. Většinou je snadnější tančit správně v pomalejším rytmu než v nějakém extrémně rychlém.

Pochopitelně, že experiment vyvolal diskusi, jejímž výsledkem je konstatování, že toho zůstává ještě mnoho nezodpovězeno. Jednou z hlavních otázek je, jestli je šipka času propojena s jevem kvantového provázání – to je jev, kdy dvě částice nepřetržitě vykazují vzájemnou korelaci, i když jsou od sebe velmi daleko (třeba v jiné galaxii). Tato myšlenka je už téměř 30 let stará a teď zažívá novou vlnu zájmu a popularity. Toto spojení má ale méně co do činění s růstem entropie, vztahuje se spíše k nezastavitelnému rozptylu kvantových informací.

Zúčastnění fyzici nicméně věří, že dokonalým zvládnutím kvantového provázání bude dokonce možno obrátit šipku času v mikroskopických systémech. Prohlašují, že na tom už pracují a že budou v příští generaci experimentů v kvantové termodynamice tento aspekt sledovat.

Tedy nakonec: Co je to vlastně čas? To je jedna z pěti nejdůležitějších neodpověděných otázek ve fyzice. O tomto záhadném čtvrtém rozměru toho opravdu moc nevíme, i když to v běžném životě nikomu zase tak moc nevadí.

Grafenový papír chodí na procházku

Fyzici ze Šanghaje vytvořili, inspirováni hrou origami, samoskládací papír z velmi tenké vrstvy oxidu grafenu. Je už notoricky známo, že grafen je pouze jediný atom silná vrstva grafitu, má zcela unikátní elektrické vlastnosti a je to dosud nejpevnější známý materiál. Papír čínských fyziků využívá tyto vlastnosti a dokáže se ohýbat světlem nebo teplem a může „chodit“ po povrchu dokonce i za roh. A není to hračka pro děti z mateřských škol, může mít velice seriózní aplikace.

Origami je velmi proslulé staré japonské umění skládání papíru, pomocí kterého je možno přetransformovat lehký rovný materiál do pevných a flexibilních 3D objektů. Princip origami inspiroval inženýry k návrhu spousty různých struktur, od automobilových airbagů až po komponenty satelitů nebo umělé svaly.

Samoskládací struktury jsou zvláště užitečné, když se dají naprogramovat tak, aby se skládaly a rozkládaly působením externího stimulačního podnětu, jako je třeba světlo. Takové struktury už existují a obsahují aktivní materiály nebo materiály reagující na stimulující podněty. Jejich základem jsou většinou polymery, takže dobře reagují na změny teploty, rozpouštědel, vlhkosti, elektrických podnětů nebo světla. Jsou ale často nestabilní a jejich výroba je náročná. Jejich praktické využívání proto zůstává většinou jen v teoretické rovině.

Teď ale fyzici zkusili použít jako stavební kámen pro samoskládací papír extrémně tenké nanovrstvy z oxidu grafenu. Takový papír je flexibilní, snadno se s ním manipuluje a má velkou pevnost v tahu.

Listy jsou vyrobeny z několika vrstev redukovaného oxidu grafenu, který je velmi stabilní a nemění svůj tvar podle vnějších podnětů. Samoskládání se dosahuje pokrytím určitých částí redukovaného oxidu grafenu několika vrstvami normálního oxidu grafenu, který obsahuje polymer polydopamin.

Na rozdíl od redukovaného oxidu grafenu obsahují vrstvy s polydopaminem molekuly vody, které se absorbují z okolního vzduchu. Když se materiál zahřívá infračerveným laserem, část vody se z vrstev vypaří, a to způsobí jejich smrštění. Vrstva redukovaného oxidu grafenu se ale nesmrští a výsledkem je ostrý ohyb listu v místech, kde jsou naneseny vrstvy s polydopaminem. Když se světlo vypne, vrstvy znovu absorbují vodu z okolního vzduchu a list se narovná.

Sofistikovanou přípravou listů redukovaného oxidu grafenu s pásy s polydopaminem vyrobil fyzikální tým jednoduchého papírového robota, který se mohl pohybovat dopředu i dozadu. Mohl zahýbat za roh, a to je poprvé, co se taková věc podařila. Samoohýbáním se dokonce podařilo vyrobit „ruku“, která dokázala uchopit a držet předměty nejméně pětkrát těžší, než byla její vlastní váha.

Papír lze naprogramovat tak, že se po přesném ohnutí může pohybovat všemi směry a může se otáčet kolem dokola. Předem určené tvary se tedy dají jednoduše zhotovit aplikováním světla nebo tepla. Fyzici věří, že práce pomůže ve vývoji další generace průmyslových mechanických spouštěčů, které budou moci být použity jako bezdrátově dálkově ovládané mikroroboty, v mikrofluidní chemické analýze, tkáňovém inženýrství nebo třeba ve výrobě umělých svalů.

Teď tým zkouší vyrábět stále menší verze jejich zařízení. Až se dostanou do nanooblasti, změní se podstatně vlastnosti a schopnosti ohýbání. Proto se teď začali zabývat vývojem celografenových struktur.

Původní materiály byly uveřejněny ve Physics Advances, Physical Review Letters a Journal of Mathematical Physics.

Další díly:

Autor: Jana Štrajblová
Úvodní foto: Archimedes - Historické označení pro číslo π znělo Archimedova konstanta

Aktuality z fyziky XXIV

Magické číslo „π“

Fyzici zkoumají šipku času

Grafenový papír chodí na procházku